SURFACE THEORY IN THE 18TH AND 19TH CENTURIES: THE SECOND PROBLEM OF APPLICABILITY

This thesis aims to investigate some key moments in the development of classical surface theory related to the second problem of applicability in the eighteenth and nineteenth centuries. Two surfaces are applicable upon each other if there exists a continuous deformation that maps one upon the other. Until the late nineteenth century, this was regarded as equivalent to requiring the two surfaces to be locally isometric and the second applicability problem, in particular, consisted of finding all surfaces locally isometric to an assigned one. The subject of applicability became central to the study of surfaces when Gauss published Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828). Here, he stated that two surfaces can be considered equivalent when they are applicable to each other and emphasised those properties, such as Gaussian curvature, that do not vary within a class of applicability (intrinsic properties). Before then, the problem had been solved by Euler (1772) and Monge (1780, 1785) only in the case of surfaces applicable to the plane. A careful reading of their work permitted an in-depth examination of the origins of the applicability problem and of the different motivations that drove the two towards such investigations. After Minding's first attempts (1837-1840), the second problem of applicability was chosen by the Academy of Sciences in Paris as the topic for a Grand Prix des Mathématiques in 1860. The analysis of the three papers presented by Bour, Bonnet and Codazzi on this occasion provided a new insight into the historical process that led to the recognition of the relevance of the Mainardi-Codazzi equations and the Fundamental Theorem of Surface Theory, and helped to explain why the results previously obtained by Peterson (1853) and Mainardi (1856) on the subject went unnoticed for years. The work of Bour, Bonnet and Codazzi stimulated new research and the keen interest in the second problem of applicability led the Academy of Sciences to announce a second Grand Prix on this subject for 1894. The winner was Julius Weingarten, who proposed a new method based on a second-order partial derivative equation of the Monge-Ampère type, which, unlike a similar equation presented by Bour at the 1860 Grand Prix, was integrable by known methods in all (and only) those cases in which complete classes of applicable surfaces had already been determined geometrically. In addition to tracing a more accurate scientific biography of Weingarten, the study of some of his letters to Bianchi, together with an analysis of a number of his publications on applicability, made it possible to reconstruct the process that led him to formulate his new method between 1884 and 1894. Finally, the study of some applications of Weingarten's method proposed by Bianchi (1896-1899) and Ricci Curbastro (1897) provided a further insight into the delicate issue of the initial distrust in Italy in the late nineteenth and early twentieth century towards Ricci's absolute differential calculus. Indeed, the comparison of the results of Bianchi and Ricci on the same subject highlighted some peculiar aspects of their respective research, concretely showing the difference in views between the two.

Lo scopo di questa tesi è di indagare alcuni momenti salienti dello sviluppo della teoria classica delle superfici nel XVIII e XIX secolo legati al secondo problema dell'applicabilità. Due superfici sono applicabili l'una all'altra se esiste una deformazione continua che mappa l'una sull'altra. Fino alla fine dell’Ottocento, si credeva che questo fosse equivalente a richiedere che le due superfici fossero localmente isometriche e il secondo problema di applicabilità, in particolare, consisteva nel trovare tutte le superfici localmente isometriche ad una assegnata. Il tema dell'applicabilità divenne centrale nello studio delle superfici quando Gauss pubblicò le Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828). Qui, egli affermò che due superfici possono essere considerate equivalenti quando sono applicabili l’una sull’altra e mise in evidenza quelle proprietà, come la curvatura gaussiana, che non variano all'interno di una classe di applicabilità (proprietà intrinseche). Prima di allora, il problema era già stato completamente risolto da Eulero (1772) e da Monge (1780, 1785) solo nel caso delle superfici applicabili al piano. Una lettura accurata dei loro lavori ha permesso di approfondire le origini del problema dell’applicabilità e le diverse motivazioni che hanno spinto i due verso tali indagini. Dopo i primi tentativi di Minding (1837-1840), il secondo problema dell’applicabilità fu ripreso nel 1860 quando l’Accademia delle Scienze di Parigi lo scelse come tema per un Grand Prix des Mathématiques. L’analisi dei tre lavori presentati da Bour, Bonnet e Codazzi in questa occasione ha fornito una nuova visione del processo storico che ha portato al riconoscimento della rilevanza delle equazioni di Mainardi-Codazzi e del Teorema fondamentale della teoria delle superfici e ha contribuito a spiegare perché i risultati ottenuti precedentemente da Peterson (1853) e Mainardi (1856) sull'argomento siano passati inosservati per anni. I lavori di Bour, Bonnet e Codazzi stimolarono nuove ricerche e il vivo interesse per il secondo problema dell’applicabilità spinse l’Accademia delle Scienze a bandire un secondo Grand Prix su questo tema per il 1894. A vincere fu Julius Weingarten che propose un nuovo metodo basato su un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine del tipo di Monge-Ampère che, a differenza di un’equazione simile presentata da Bour al Premio del 1860, risultava integrabile con metodi noti in tutti e soli i casi in cui classi complete di superfici applicabili erano già state determinate per via geometrica. Oltre a tracciare un profilo scientifico più accurato di Weingarten, lo studio di alcune sue lettere indirizzate a Bianchi, unitamente all’analisi di diverse sue pubblicazioni sull’applicabilità, ha permesso di ricostruire il processo che lo ha portato tra il 1884 e il 1894 a formulare il suo nuovo metodo. Infine, lo studio di alcune applicazioni del metodo di Weingarten proposte da Bianchi (1896-1899) e da Ricci Curbastro (1897) ha fornito un ulteriore spunto per interpretare la delicata questione dell'iniziale diffidenza in Italia tra la fine dell’Ottocento e l’inizio del Novecento verso il calcolo differenziale assoluto di Ricci. Infatti, il confronto dei risultati dei due su uno stesso argomento ha messo in luce alcuni aspetti peculiari delle rispettive ricerche, mostrando concretamente la differenza di vedute tra i due.