ON SOME GEOMETRIC PROPERTIES OF 𝜑-STATIC SPACES

The purpose of the thesis is to analyze geometric properties of some structures, which are called 𝜑-static spaces, involving a map between Riemannian manifolds together with a potential function on the base manifold, both satisfying a coupled system of PDEs. Such spaces are are indeed a special case of static spaces, since they are Riemannian manifolds from which one can construct, via a warped product, static solutions to the Einstein equations of General Relativity where the stress-energy tensor is related to a field 𝜑 given by a map from the starting manifold to a fixed Riemannian manifold. The first part of this work will be about presenting the main objects and tools used in the subse- quent chapters, at the same time fixing the formalism. The next part will provide some rigidity conditions involving algebraic curvature tensors, which are 4-covariant tensors sharing the same symmetries, at the algebraic level, of the Riemann curvature tensor. Namely, the Bochner tech- nique will be applied, requiring a non-negativity condition dealing with the curvature operator, to obtain rigidity of harmonic algebraic curvature tensors. Then some results with specific choices of the algebraic curvature tensor will be given. The final chapter will be entirely devoted to the study of 𝜑-static spaces. The analysis will be done following similar approaches to the ones used for classical vacuum static spaces. Namely, one can recover some of the already known results in this context, such as the constancy of the scalar curvature - here it will be the constancy of a scalar function related to the scalar curvature and the tangent map - or the fact that the zero level set of the potential function is totally geodesic hypersurface on the base manifold. Then some constraints on the existence of such spaces will be given, as well as their relation with harmonic-Einstein manifolds - that are manifolds where the Ricci tensor is given by a multiple of the metric plus a quantity depending on the harmonic map. After that, there will be a focus on those spaces where the potential function is given by the divergence of a conformal Killing vector field on the base manifold: to be specific, there will be a partial characterization of such spaces on compact manifolds with boundary by means of a boundary functional involving the vector field and depending on both the metric of the base manifold and the map. Lastly, it will be considered the case where the base Riemannian manifold admits both a 𝜑-static space structure and a closed conformal vector field. In this case, the gradi- ent of the potential function and the vector field will be proportional and, as a consequence, this will impact both the geometry of the base manifold, which will locally split as a warped product with harmonic-Einstein slices, and on the map, not depending on the flow of the vector field and possibly being constant.

Lo scopo di questa tesi è l’analisi di proprietà geometriche di alcune strutture, che sono denotate con 𝜑-static spaces, che consistono in una mappa fra varietà Riemanniane e una funzione detta potenziale sulla varietà di partenza, le quali soddisfano un sistema accoppiato di PDE. Tali spazi rientrano come caso specifico di spazi statici, in quanto sono varietà Riemanniane tramite le quali è possibile costruire, tramite un prodotto warped, soluzioni statiche delle equazioni di Einstein della Relatività Generale dove il tensore di stress-energia è relativo a un campo 𝜑 dato da una mappa fra la varietà di partenza e una varietà Riemanniana fissata. La prima parte del lavoro riguarderà la presentazione dei principali oggetti e metodi utilizzati nei capitoli successivi, al contempo fissando il formalismo. La parte successiva fornirà alcune condizioni di rigidità che coinvolgeranno i tensori di curvatura algebrica, ovvero tensori 4 volte covarianti che condividono le stesse simmetrie del tensore di Riemann a livello algebrico. Nello specifico, si applicherà il metodo di Bochner, richiedendo una condizione di non negatività riguardante l’operatore di curvatura, allo scopo di ottenere rigidità di tensori di curvatura algebrica che siano armonici. Dopodiché, saranno dati alcuni risultati con scelte specifiche del tensore di curvatura algebrica. Il capitolo finale sarà interamente dedicato allo studio dei 𝜑-static spaces. L’analisi che ne verrà fatta seguirà approcci simili a quelli usati nel caso dei classici spazi statici vuoti. Nel dettaglio, si possono riottenere alcuni dei risultati già noti in questo contesto, come il fatto che la curvatura scalare sia costante - qui sarà costante una funzione scalare legata alla curvatura scalare e alla mappa tangente - o il fatto che le ipersuperfici di livello zero della funzione potenziale siano totalmente geodetiche sulla varietà di partenza. Successivamente, si daranno alcuni vincoli all’esistenza di tali spazi, così come si guarderà alla loro relazione con le varietà di Einstein armoniche - le quali sono varietà dove il tensore di Ricci è dato da un multiplo della metrica più una parte dipendente dalla mappa, richiedendo che questa sia armonica. Dopodiché, ci si concentrerà su quegli spazi in cui la funzione potenziale è data dalla divergenza di un campo vettoriale conforme sulla varietà di partenza. Nello specifico, si darà una parziale caratterizzazione di tali spazi su varietà compatte con bordo tramite un funzionale di bordo, dipendente dalla metrica sulla varietà di base e dalla mappa, nella cui definizione è coinvolto il suddetto campo vettoriale. Da ultimo, si considererà il caso in cui nella varietà Riemanniana vi sia, oltre a una struttura di 𝜑-static space, anche un campo vettoriale conforme chiuso. In tal caso, il gradiente della funzione potenziale e il campo vettoriale saranno proporzionali e, come conseguenza, questo influenzerà sia la geometria della varietà di base, la quale localmente si spezzerà in un prodotto warped avente come fette varietà di Einstein armoniche, sia la mappa, la quale non dipenderà dal flusso del campo vettoriale e sarà in alcuni casi costante.