ADVANCES IN STOCHASTIC ANALYSIS ON SPACES OF MEASURES: KOLMOGOROV EQUATIONS RELATED TO STOCHASTIC FILTERING AND MEAN FIELD OPTIMAL STOPPING

The purpose of this Thesis is to study some problems arising in the context of stochastic analysis and stochastic optimal control, where some relevant variables take values in the space of positive or probability measures. Most of the work is dedicated to the introduction and study of some backward Kolmogorov equations on spaces of measures associated to filtering problems. Measure-valued processes arise naturally in the context of stochastic filtering and one can formulate two stochastic differential equations, called Zakai (Z) and Kushner-Stratonovich (KS) equations, that are solved by a positive and a probability measure-valued process respectively. A classical way to study these problems is to assume that the measure-valued processes admit a density and then exploit stochastic calculus in Hilbert spaces. The approach used in this Thesis differs from this since we do not assume the existence of a density and we work directly in the context of measures. We formulate two backward Kolmogorov equations, which are parabolic partial differential equations with a given final condition, one over a space of positive (in the Z case) and one over a space of probability (in the KS case) measures. In the recent literature, PDEs on spaces of probability measures have been a topic of great interest, thanks to the connection with mean field games and McKean-Vlasov equations. Here we state a new equation on a space of probability measures, obtained in a completely different framework, and we introduce a PDE on a space of positive measures, which is one of the first problems of this type. We study the existence and uniqueness of a solution from two different points of view. First, we focus on classical solutions. We prove that both the equations introduced admit a unique classical solution, as long as the final condition is chosen regular enough. To achieve this, we need some intermediate results of independent interest. In particular, we prove Itô formulas for the composition of filtering processes and real-valued functions defined on the space of measures. Moreover, we study the regularity of the solution to the filtering equations with respect to the initial datum. Since we are dealing with functions over spaces of measures, a key point is to discuss proper notions of derivatives, especially in the case of positive measures. After this, we investigate the case when the final condition is less regular. A first remark is that the approach we used in the classical case strongly depends on the regularity of the final condition. Thus, we need to change the notion of solution and look for viscosity solutions. To this aim, we focus on the PDE associated to the KS equation. In the literature, only a few results are available on viscosity solutions for this kind of problem, and in particular, uniqueness is a very challenging issue. In this case, we prove the existence and uniqueness of a viscosity solution and, in particular, we provide a comparison theorem. In the final part of this Thesis, we deal with a different problem, which arises in the context of optimal stopping theory. We study a class of finite horizon time-inconsistent optimal stopping problems (OSPs) of mean field type, which includes those related to mean field diffusion processes and recursive utility functions. The mean field interaction is due to the fact that we consider a terminal cost depending not only on the stopped process but also on its law (which is different from the law of the process evaluated at the stopping time). Despite the time-inconsistency of the OSP, we show that it is optimal to stop when the value-process hits the reward process for the first time, as is the case for the standard time-consistent OSP. We solve the problem by approximating the corresponding value-process with a sequence of Snell envelopes of processes, for which a sequence of optimal stopping times is constituted of hitting times of each of the reward processes by the associated value-process. Then, under mild assumptions, we show that this sequence of hitting times converges in probability to the hitting time for the mean field OSP and that the limit is optimal.

Lo scopo di questa Tesi è di studiare alcuni problemi di analisi stocastica e controllo ottimo stocastico, dove alcune variabili prendono valore in spazi di misure positive e di probabilità. La maggior parte del lavoro è dedicata all'introduzione e allo studio di alcune equazioni di Kolmogorov retrograde su spazi di misure associate a problemi di filtraggio. I processi a valori in spazi di misure sorgono naturalmente nel contesto del filtraggio stocastico, dove si possono formulare due equazioni differenziali stocastiche, dette equazioni di Zakai (Z) e di Kushner-Stratonovich (KS), che vengono risolte rispettivamente da un processo a valori nelle misure positive e da un provesso a valori nelle probabilità. Un modo classico per studiare questi problemi è assumere che i processi ammettano una densità per poi sfruttare il calcolo stocastico su spazi Hilbert. L'approccio utilizzato in questa tesi differisce da questo poiché non assumiamo l'esistenza di una densità e lavoriamo direttamente nel contesto delle misure. Formuliamo due equazioni di Kolmogorov retrograde, che sono equazioni alle derivate parziali paraboliche con una data condizione finale, una su uno spazio di misure positive (nel caso Z) e una su uno spazio di misure di probabilità (nel caso KS). Nella letteratura recente, le EDP su spazi di misure di probabilità sono state un argomento di grande interesse, grazie alla connessione con i giochi a campo medio e le equazioni di McKean-Vlasov. Qui presentiamo una nuova equazione su uno spazio di misure di probabilità, ottenuta in un modo completamente diverso, e introduciamo una EDP su uno spazio di misure positive, che è uno dei primi problemi di questo tipo. Studiamo l'esistenza e l'unicità di una soluzione da due diversi punti di vista. Innanzitutto, ci concentriamo sulle soluzioni classiche. Dimostriamo che entrambe le equazioni introdotte ammettono un'unica soluzione classica, purché la condizione finale sia scelta sufficientemente regolare. Per raggiungere questo risultato, abbiamo bisogno di alcuni risultati intermedi di interesse indipendente. In particolare, mostriamo delle formule di Itô per la composizione di processi di filtraggio e funzioni a valori reali definite su spazi di misure. Inoltre, studiamo la regolarità della soluzione delle equazioni di filtraggio rispetto al dato iniziale. Trattandosi di funzioni su spazi di misure, un punto chiave è discutere opportunamente le nozioni di derivate, specialmente nel caso di misure positive. Successivamente, esaminiamo il caso in cui la condizione finale è meno regolare. Una prima osservazione è che l'approccio usato nel caso classico dipende fortemente dalla regolarità della condizione finale. Pertanto, dobbiamo cambiare la nozione di soluzione e cercare soluzioni di viscosità. A questo scopo, ci concentriamo sulla EDP associata all'equazione di KS. In letteratura sono disponibili solo pochi risultati sulle soluzioni di viscosità per questi tipi di problema e, in particolare, l'unicità è un problema molto difficile. In questo caso dimostriamo l'esistenza e l'unicità di una soluzione di viscosità e, in particolare, forniamo un teorema del confronto. Nella parte finale di questa Tesi, affrontiamo un problema diverso, proveniente dalla teoria dell'arresto ottimale. Studiamo una classe di problemi di arresto ottimo tempo-inconsistenti ad orizzonte finito di tipo campo medio, che include quelli relativi a processi di diffusione di tipo McKean-Vlasov e funzioni di utilità ricorsive. L'interazione di tipo campo medio è dovuta al fatto che consideriamo un costo terminale dipendente non solo dal processo arrestato ma anche dalla sua legge (che è diversa dalla legge del processo valutata al tempo di arresto). Nonostante l'inconsistenza temporale del problema, dimostriamo che è ottimale fermarsi quando il processo valore colpisce per la prima volta il reward, come nel caso standard tempo consistente. Risolviamo il problema approssimando il processo valore con una sequenza di inviluppi Snell. Una sequenza di tempi di arresto ottimali è quindi data dai tempi di contatto di ciascuno dei processi valore con il rispettivo reward. Quindi, sotto opportune ipotesi, mostriamo che questa sequenza di tempi di contatto converge in probabilità al tempo di contatto per il problema di arresto ottimo di tipo campo medio, e che il limite è ottimale.