ON THE LINEAR INSTABILITY OF HIGHER DIMENSIONAL WORMHOLES SUPPORTED BY SELF-INTERACTING PHANTOM SCALAR FIELDS

In this thesis I deal with the linear stability analysis of static, spherically symmetric wormholes supported by phantom self-interacting scalar fields, in the framework of General Relativity with arbitrary spacetime dimension. In the previous literature, a gauge-invariant stability analysis of wormhole configurations often succeeds in decoupling the linearized field equations, yielding a wave-type master equation which, however, is typically singular where the radial coefficient of the metric has a critical point, that is, at the wormhole throat. In order to overcome this problem a regularization method has been proposed in previous works, which transforms the singular wave equation to a regular one; this method is usually referred to as “S-deformation” (and sometimes requires a partly numerical implementation, especially, in the case of scalar fields with nontrivial self-interaction). The first result of my work is the reduction of the linearized field equations to a completely regular, constrained wave system for two suitably defined gauge-invariant functions of the perturbations in the metric coefficients and in the scalar field; the second result is a strategy for decoupling this system, obtaining a single wave-type master equation for another gauge-invariant quantity. No step of this construction causes the appearing of singularities at the wormhole throat or elsewhere (provided that the unperturbed scalar field has no critical points, which occurs in many examples); therefore, it is not necessary to regularize a posteriori the master equation via the S-deformation method. This gauge-invariant and singularity-free formalism, which generalizes to arbitrary spacetime dimensions the approach of my paper [1], is then applied to some known static wormhole solutions (most, but not all of them considered in [1]). The most relevant application is a certain Anti-de Sitter (AdS) wormhole, whose linear stability analysis does not seem to have been performed previously by other authors; by using the present method, it is possible to derive a completely regular master equation describing the perturbations of the AdS wormhole and prove that the latter is actually linearly unstable, after providing a detailed analysis of the spectral properties of the Schrödinger type operator appearing in the master equation. A partial instability result is derived along the same lines for the analogous de Sitter (dS) wormhole, a technically more subtle case due to the presence of horizons. As a further application, I rederive in a singularity-free fashion the master equations for the perturbed Ellis-Bronnikov and Torii-Shinkai wormholes. As a supplement, the linear instability results for the AdS and for the Torii-Shinkai wormholes are also recovered using an alternative, singularity free but gauge-dependent method: in this case a regular master equation is derived for the perturbed radial coordinate, and the gauge-independence of the instability result is tested a posteriori. This alternative, gauge-dependent approach generalizes that introduced in my paper [2] for the reflection symmetric Ellis-Bronnikov wormhole. Let me also cite [3], from which I report some facts about the previously mentioned wormholes in absence of perturbations. BIBLIOGRAPHY: [1] F. Cremona, L. Pizzocchero, and O. Sarbach. Gauge-invariant spherical linear perturbations of wormholes in einstein gravity minimally coupled to a self-interacting phantom scalar field. Physical Review D, 101, 05 2020. [2] F. Cremona, F. Pirotta, and L. Pizzocchero. On the linear instability of the Ellis-Bronnikov-Morris-Thorne wormhole. Gen. Relativ. Gravitat., 51:19, 2019. [3] F. Cremona. Geodesic structure and linear instability of some wormholes. Proceeding for the conference: Domoschool 2019 (submitted).

Questa tesi si occupa della questione della stabilità lineare di wormholes (tunnel spaziotemporali) statici e a simmetria sferica, supportati da campi scalari di tipo fantasma autointeragenti, nel contesto della Relatività Generale per spazitempi di dimensione arbitraria. In letteratura, attraverso un'analisi gauge-invariante delle configurazioni di tipo wormhole, spesso si riesce a disaccoppiare le equazioni di campo linearizzate, ottenendo un'equazione delle onde (master equation) che, tuttavia, tipicamente è singolare dove il coefficiente radiale della metrica ha un punto critico, cioè nella gola del tunnel. Per risolvere questo problema, nei lavori passati è stato proposto un metodo di regolarizzazione che trasforma l'equazione delle onde singolare in una regolare; questo metodo è solitamente denominato "S-deformazione" (e spesso richiede parzialmente un'implementazione numerica, specialmente nel caso di campi scalari con un'autointerazione non banale). Il primo risultato del mio lavoro è la riduzione delle equazioni di campo linearizzate ad un sistema delle onde vincolato e completamente regolare, per due funzioni gauge-invarianti delle perturbazioni dei coefficienti della metrica e del campo scalare, opportunamente definite; il secondo risultato è una strategia per disaccoppiare questo sistema, ottenendo una sola master equation delle onde per un'altra quantità gauge-invariante. Nessun passaggio di questa costruzione determina l'apparizione di singolarità nella gola del tunnel o in altri punti (sempre che il campo scalare imperturbato non abbia punti critici, cosa che accade in moti esempi); quindi non è necessario regolarizzare a posteriori la master equation utilizzando il metodo di S-deformazione. Questo formalismo gauge-invariante e libero da singolarità, che generalizza a dimensione arbitraria l'approccio del mio articolo [1], è applicato ad alcune soluzioni di tipo wormhole statiche note (la maggior parte, ma non tutte, considerate in [1]). La più importante applicazione è ad un wormhole Anti-de Sitter (AdS), la cui stabilità lineare non pare sia mai stata analizzata da altri autori finora; utilizzando il presente metodo è possibile derivare una master equation completamente regolare che descrive le perturbazioni del wormhole AdS e quindi dimostrare che quest'ultimo è linearmente instabile, dopo aver dettagliatamente analizzato le proprietà spettrali di un operatore di tipo Schrödinger che compare nella master equation. Sulla stessa linea, è ottenuto un risultato parziale per l'analogo wormhole di tipo de Sitter (dS), caso tecnicamente più sottile a causa della presenza di orizzonti. Come ulteriore applicazione, ho riottenuto in maniera libera da singolarità le master equations per le perturbazioni di dei wormholes di Ellis-Bronnikov e di Torii-Shinkai. Ad integrazione, l'instabilità lineare dei wormholes AdS e di Torii-Shinkai sono riottenute utilizzando un metodo alternativo, privo di singolarità ma gauge-dipendente: in questo caso, si ottiene una master equation per la perturbazione della coordinata radiale, e l'indipendenza dal gauge del risultato di instabilità è testata a posteriori. Questo approccio alternativo e gauge-dipendente generalizza quello introdotto in [2] per il wormhole di Ellis-Bronnikov a simmetria riflessiva. Vorrei citare infine [3], dal quale ho riportato alcuni fatti sui wormholes appena menzionati in assenza di perturbazione. BIBLIOGRAFIA: [1] F. Cremona, L. Pizzocchero, and O. Sarbach. Gauge-invariant spherical linear perturbations of wormholes in einstein gravity minimally coupled to a self-interacting phantom scalar field. Physical Review D, 101, 05 2020. [2] F. Cremona, F. Pirotta, and L. Pizzocchero. On the linear instability of the Ellis-Bronnikov-Morris-Thorne wormhole. Gen. Relativ. Gravitat., 51:19, 2019. [3] F. Cremona. Geodesic structure and linear instability of some wormholes. Proceeding for the conference: Domoschool 2019 (submitted).