We deal with problems on non-separable Banach spaces and non-metrizable compact spaces. In particular these problems concern Banach spaces with a projectional skeleton and compact spaces with a retractional skeleton. A projectional (resp. retractional) skeleton is a family of continuous projections (resp. retractions) on a Banach (resp. compact) space, which satisfies certain compatibility properties. Banach spaces with projectional skeleton and compact spaces with retractional skeleton can be viewed as non-commutative version of Plichko Banach spaces and Valdivia compact spaces respectively. The thesis is split into three chapters. Each chapter consists of a submitted/published paper concerning different problems in this area. In the first chapter, On the class of continuous images of non-commutative Valdivia compacta, we investigate the stability of some topological properties in the class of weakly non-commutative Valdivia compacta (i.e. the class of spaces that are image of a non-commutative Valdivia compact space). We deal, among others, with arbitrary products, [0, η)-sums, Aleksandrov duplication. In the second chapter, New examples of non-commutative Valdivia compact spaces, we characterize compact trees with a retractional skeleton. This characterization answers in the negative the following question: Let X be a non-commutative Valdivia compact space that does not contain any copy of the ordinal space [0,ω2]. Is X necessarily Valdivia? In the third chapter, On compact trees with the coarse wedge topology, we investigate in more detail the class of compact trees. We study the properties of Radon measures on compact trees, proving that each tree has the property (M). We characterize compact trees to be Valdivia and finally we prove that C(T), the space of continuous functions on a compact tree T , is Plichko whenever T has height less than ω1 · ω0 .

Nel presente elaborato tratteremo di problemi su spazi di Banach non-separabili e spazi compatti non metrizzabili. In particolare questi problemi riguardano spazi di Banach con una projectional skeleton e spazi compatti con una retractional skeleton. Una projectional (risp. retractional) skeleton è una famiglia di proiezioni (risp. retrazioni) continue su uno spazio di Banach (risp. compatto), che soddisfa alcune proprietà di compatibilità. Gli spazi di Banach con projectional skeleton e i gli spazi compatti con retractional skeleton possono essere visti come versioni non commutative, rispettivamente degli spazi di Banach di Plichko e degli spazi compatti di Valdivia. La tesi si sviluppa in tre capitoli, ciascuno dei quali presenta un articolo di ricerca riguardante problemi nell’ambito di cui sopra. Nel primo capitolo, On the class of continuous images of non-commutative Valdivia compacta, si è studiata la stabilità di alcune proprietà topologiche nella classe di compatti debolmente Valdivia non commutativi (i.e. la classe degli spazi che sono immagine continua di uno spazio compatto di Valdivia non commutativo). In particolare si è trattato di prodotti arbitrari, [0,η)-somme e duplicazione di Aleksandrov. Nel secondo capitolo, New examples of non-commutative Valdivia compact spaces, viene presentata una caratterizzazione per alberi compatti con una retractional skeleton. Questa caratterizzazione ha portato ad una risposta negativa alla domanda: Sia X un compatto di Valdivia non commutativo che non contenga nessuna copia dello spazio [0, ω2]. X è necessariamente di Valdivia? Nel terzo capitolo, On compact tree with the coarse wedge topology, si è studiato in maggior dettaglio la classe degli alberi compatti. Si è dimostrato che ogni albero compatto ha la proprietà (M), è stata data una caratterizzazione degli alberi compatti di Valdivia e, infine, si è provato che C(T), lo spazio delle funzioni continue su un albero compatto T , è di Plichko se T ha altezza minore di ω1 · ω0.

RICH FAMILIES OF PROJECTIONS AND RETRACTIONS / J. Somaglia ; supervisors: O. Kalenda, C. Zanco ; coordinator: V. Mastropietro. - : . DIPARTIMENTO DI MATEMATICA "FEDERIGO ENRIQUES", 2018 Sep 21. ((30. ciclo, Anno Accademico 2017. [10.13130/somaglia-jacopo_phd2018-09-21].

RICH FAMILIES OF PROJECTIONS AND RETRACTIONS

J. Somaglia
2018

Abstract

Nel presente elaborato tratteremo di problemi su spazi di Banach non-separabili e spazi compatti non metrizzabili. In particolare questi problemi riguardano spazi di Banach con una projectional skeleton e spazi compatti con una retractional skeleton. Una projectional (risp. retractional) skeleton è una famiglia di proiezioni (risp. retrazioni) continue su uno spazio di Banach (risp. compatto), che soddisfa alcune proprietà di compatibilità. Gli spazi di Banach con projectional skeleton e i gli spazi compatti con retractional skeleton possono essere visti come versioni non commutative, rispettivamente degli spazi di Banach di Plichko e degli spazi compatti di Valdivia. La tesi si sviluppa in tre capitoli, ciascuno dei quali presenta un articolo di ricerca riguardante problemi nell’ambito di cui sopra. Nel primo capitolo, On the class of continuous images of non-commutative Valdivia compacta, si è studiata la stabilità di alcune proprietà topologiche nella classe di compatti debolmente Valdivia non commutativi (i.e. la classe degli spazi che sono immagine continua di uno spazio compatto di Valdivia non commutativo). In particolare si è trattato di prodotti arbitrari, [0,η)-somme e duplicazione di Aleksandrov. Nel secondo capitolo, New examples of non-commutative Valdivia compact spaces, viene presentata una caratterizzazione per alberi compatti con una retractional skeleton. Questa caratterizzazione ha portato ad una risposta negativa alla domanda: Sia X un compatto di Valdivia non commutativo che non contenga nessuna copia dello spazio [0, ω2]. X è necessariamente di Valdivia? Nel terzo capitolo, On compact tree with the coarse wedge topology, si è studiato in maggior dettaglio la classe degli alberi compatti. Si è dimostrato che ogni albero compatto ha la proprietà (M), è stata data una caratterizzazione degli alberi compatti di Valdivia e, infine, si è provato che C(T), lo spazio delle funzioni continue su un albero compatto T , è di Plichko se T ha altezza minore di ω1 · ω0.
ZANCO, CLEMENTE
MASTROPIETRO, VIERI
We deal with problems on non-separable Banach spaces and non-metrizable compact spaces. In particular these problems concern Banach spaces with a projectional skeleton and compact spaces with a retractional skeleton. A projectional (resp. retractional) skeleton is a family of continuous projections (resp. retractions) on a Banach (resp. compact) space, which satisfies certain compatibility properties. Banach spaces with projectional skeleton and compact spaces with retractional skeleton can be viewed as non-commutative version of Plichko Banach spaces and Valdivia compact spaces respectively. The thesis is split into three chapters. Each chapter consists of a submitted/published paper concerning different problems in this area. In the first chapter, On the class of continuous images of non-commutative Valdivia compacta, we investigate the stability of some topological properties in the class of weakly non-commutative Valdivia compacta (i.e. the class of spaces that are image of a non-commutative Valdivia compact space). We deal, among others, with arbitrary products, [0, η)-sums, Aleksandrov duplication. In the second chapter, New examples of non-commutative Valdivia compact spaces, we characterize compact trees with a retractional skeleton. This characterization answers in the negative the following question: Let X be a non-commutative Valdivia compact space that does not contain any copy of the ordinal space [0,ω2]. Is X necessarily Valdivia? In the third chapter, On compact trees with the coarse wedge topology, we investigate in more detail the class of compact trees. We study the properties of Radon measures on compact trees, proving that each tree has the property (M). We characterize compact trees to be Valdivia and finally we prove that C(T), the space of continuous functions on a compact tree T , is Plichko whenever T has height less than ω1 · ω0 .
retractional skeleton; projectional skeleton; Valdivia compacta; Plichko spaces; tree
Settore MAT/05 - Analisi Matematica
RICH FAMILIES OF PROJECTIONS AND RETRACTIONS / J. Somaglia ; supervisors: O. Kalenda, C. Zanco ; coordinator: V. Mastropietro. - : . DIPARTIMENTO DI MATEMATICA "FEDERIGO ENRIQUES", 2018 Sep 21. ((30. ciclo, Anno Accademico 2017. [10.13130/somaglia-jacopo_phd2018-09-21].
Doctoral Thesis
File in questo prodotto:
File Dimensione Formato  
phd_unimi_R11049.pdf

accesso aperto

Descrizione: Tesi di Dottorato completa
Tipologia: Tesi di dottorato completa
Dimensione 2.08 MB
Formato Adobe PDF
2.08 MB Adobe PDF Visualizza/Apri
Pubblicazioni consigliate

Caricamento pubblicazioni consigliate

I documenti in IRIS sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.

Utilizza questo identificativo per citare o creare un link a questo documento: https://hdl.handle.net/2434/587912
Citazioni
  • ???jsp.display-item.citation.pmc??? ND
  • Scopus ND
  • ???jsp.display-item.citation.isi??? ND
social impact