Height Pairings of 1-Motives

The purpose of this work is to generalize, in the context of 1-motives, the height pairings constructed by B. Mazur and J. Tate on abelian varieties. Following their approach, we consider ρ-splittings of the Poincaré biextension of a 1-motive and require that they be compatible with the canonical linearization associated to the biextension. We establish results concerning the existence of such ρ-splittings. When ρ is unramified this is guaranteed if the monodromy pairing of the 1-motive considered is non-degenerate. For ramified ρ, the ρ-splitting is constructed from a pair of splittings of the Hodge filtrations of the de Rham realizations of the 1-motive and its dual. This generalizes previous results by R. Coleman and Y. Zarhin for abelian varieties. These ρ-splittings are then used to define a global pairing between rational points of a 1-motive and its dual. We also provide local pairings between zero cycles and divisors on a variety, which is done by applying the previous results to its Picard and Albanese 1-motives.

Lo scopo di questo lavoro è la generalizzazione, nel contesto degli 1-motivi, degli accoppiamenti di altezza costruiti da B. Mazur e J. Tate sulle varietà abeliane. Seguendo il loro approccio, consideriamo ρ-splittings della biestensione di Poincaré di un 1-motivo e richiediamo che siano compatibili con la linearizzazione canonica associata alla biestensione. Stabiliamo quindi risultati riguardanti l'esistenza di tali ρ-splittings. Quando ρ è non ramificato, tale risultato segue se l'accoppiamento di monodromia dell’1-motivo preso in considerazione è non degenere. Per ρ ramificato, il ρ-splitting si costruisce a partire da una coppia di scissioni delle filtrazioni di Hodge delle realizzazioni di de Rham dell’1-motivo e del suo duale. In questo modo generalizziamo precedenti risultati di R. Coleman and Y. Zarhin sulle varietà abeliane. Questi ρ-splittings vengono poi usati per definire un accoppiamento globale sui punti razionali di un 1-motivo e del suo duale. Infine forniamo accoppiamenti locali tra i zero-cicli e i divisori di una varietà, applicando i risultati precedenti ai suoi 1-motivi di Picard e d’Albanese.