TOPICS IN ALGEBRAIC SUPERGEOMETRY OVER PROJECTIVE SPACES

The aim of this thesis is to study some topics in algebraic supergeometry, in particular in the case the supermanifolds have their reduced manifolds given by complex projective spaces $\mathbb{P}^n$. After the main definitions and notions in supergeometry are introduced, the geometry of complex projective superspaces $\mathbb{P}^{n|m}$ is studied in detail. Invertible sheaves and their cohomology, infinitesimal automorphisms and deformations are studied for $\mathbb{P}^{n|m}$. Special attention is paid to the case of the Calabi-Yau supercurve $\mathbb{P}^{1|2}$. The focus is then moved to non-projected supermanifolds over $\mathbb{P}^n$. A complete classification is given in the case the odd dimension is $2$, showing that there exist non-projected supermanifolds only over the projective line $\mathbb{P}^1$ and projective plane $\mathbb{P}^2$. In particular, it is shown that all of the non-projected supermanifolds over $\mathbb{P}^2$ are Calabi-Yau's, i.e.\ they have trivial Berezinian sheaf, and they are all non-projective, i.e.\ they cannot be embedded into any ordinary projective superspace $\mathbb{P}^{n|m}$. Instead, it is shown that there always exist an embedding of these supermanifolds in super Grassmannians, and some meaningful examples are realised explicitly. Finally, a new construction of $\Pi$-projective spaces as non-projected supermanifolds related to the cotangent sheaf over $\mathbb{P}^n $ is given.

In questa tesi vengono studiati alcuni argomenti in supergeometria algebrica, con particolare attenzione al caso in cui le varietà ridotte delle supervarietà in esame siano spazi proiettivi complessi $\mathbb{P}^n$. Dopo aver introdotto le definizioni di base e alcune nozioni generali della supergeometria, viene studiata in dettaglio la geometria dei superspazi proiettivi $\mathbb{P}^{n|m}$. In questo contesto, vengono dati risultati sulla struttura e la coomologia dei fasci invertibili, sugli automorfismi e le deformazioni infinitesime. Attenzione speciale è riservata al caso della supercurva di Calabi-Yau $\mathbb{P}^{1|2}$. In seguito, vengono studiate le varietà non-projected su $\mathbb{P}^n$ e se ne fornisce una classificazione nel caso la dimensione dispari sia $2$, mostrando che esistono supervarietà non-projected solamente sulla linea proiettiva $\mathbb{P}^1$ e sul piano proiettivo $\mathbb{P}^2$. In particolare, si dimostra che tutte le supervarietà non-projected su $\mathbb{P}^2$ sono Calabi-Yau, cioè hanno fascio Bereziniano banale, ed inoltre sono non proiettive: non possono cioè essere immerse in un superspazio proiettivo $\mathbb{P}^{n|m}$. Si dimostra, invece, che esse possono sempre essere immerse in super Grassmanniane. In questo contesto, alcune immersioni di supervarietà non-projected significative vengono realizzate esplicitamente. Infine, è data una nuova costruzione dei $\Pi$-spazi proiettivi come supervarietà non-projected connesse al fascio cotangente su $\mathbb{P}^n$.