On a theorem of Lyapounov

It is shown that a Hamiltonian system in the neighbourhood of an equilibrium may be given a special normal form in case the eigenvalues of the linearized system satisfy non--resonance conditions of Melnikov's type. The normal form possesses a two dimensional (local) invariant manifold on which the solutions are known. If the eigenvalue is pure imaginary then these solutions are the natural continuation of a normal mode of the linear system. The latter result was first proved by Lyapounov. The present paper completes Lyapounov's result in that the convergence of the transformation of the Hamiltonian to a normal form is proven and the condition that the eigenvalues be pure imaginary is removed.

Si mostra che un sistema Hamiltoniano nell'intorno di un punto di equilibrio, sotto condizione che gli autovalori soddisfino delle condizioni di non--risonanza del tipo di Melnikov, ammette una forma normale che rende evidente l'esistenza di una variet\`a invariante (locale) a due dimensioni sulla quale si hanno soluzioni note. Nel caso di un autovalore puramente immaginario tali soluzioni formano una famiglia periodica a due parametri che costituisce la continuazione naturale di un modo normale. Questo secondo risultato \`e stato dimostrato in precedenza da Lyapounov. In questo lavoro si completa quello di Lyapounov dimostrando la convergenza della trasformazione dell'Hamiltoniana a forma normale e rimuovendo le restrizione che gli autovalori siano puramente immaginari.