On the adjoint system to a very ample divisor on a surface and connected inequalities

Siano: S una superficie algebrica proiettiva complessa non singolare, K un divisore canonico e H un divisore molto ampio su S. Si studia l'indice di intersezione di K+H mostrando innazitutto che (I) (K+H)^2 \geq 0, nell'ipotesi che la superficie S' ottenuta immergendo S mediante il sistema lineare |H| non sia uno scroll. Tale disuguaglianza e` connessa con alcuni risultati di Sommese e Van de Ven sulla generazione del fascio invertibile associato a K+H. Escludendo le superfici per le quali (I) vale come uguaglianza, tra cui si evidenziano le rigate in coniche, la disuguaglianza puo` essere rafforzata. Se S \subset P^n ha genere sezionale g \geq 3 e non e` ne` uno scroll ne` una rigata in coniche risulta (II) (K+H)^2 \geq p_g+g-q-2, p_g e q essendo rispettivamente il genere geometrico e l'irregolarita` di S. L'uguaglianza nella (II) sussiste se e solo se S e` una superfciie razionale rigata in cubiche, con l'eccezione di due superfici razionali di cui si descrive il modello piano. Come applicazione si classificano le superfici con g \leq 4, ritrovando e precisando alcuni risultati classici.