Elliptic curves and congruent numbers

The first part of the article recalls the ancient problem of congruent numbers and its connection with the properties of the group of rational points of certain elliptic curves. It is then explained how the modularity of elliptic curves and the theory of Heegner points allow to show that the prime numbers belonging to certain ininite families are congruent. (Modularity and Heegner points are key ideas in the modern theory of elliptic curves; the concept of modularity is fundamental in the recent proof by Wiles and Taylor of Fermat’s Last Theorem.)

La prima parte dell'articolo descrive l'antico problema dei numericongruenti e il suo collegamento con le proprietà del gruppo dei punti razionali di certe curve ellittiche. Si passa poi a spiegare come la modularità delle curve ellittiche e la teoria dei punti di Heegner (due tecniche fondamentali nella teoria moderna, la prima delle quali è legata alla dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat da parte di Wiles e Taylor) abbiano permesso di dimostrare che certe classi infinite di numeri primi siano costituite da numeri congruenti. Infine, viene spiegato come la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (il piu' importante problema aperto nella teoria delle curve ellittiche) fornisca una caratterizzazione congetturale dei numeri congruenti.