The Correspondence Principle: A bridge between general potential theories and nonlinear elliptic differential operators

General potential theories concern the study of functions which are subhar- monic with respect to a suitable constraint set F in the space of 2-jets. While interesting in their own right, general potential theories are being widely used to study fully nonlinear PDEs determined by degenerate elliptic operators acting on the space of 2-jets. We will discuss a powerful tool, the correspondence principle, which establishes the equivalence between the F-subharmonics/superharmonics u of a given constraint set F and admissible subsolutions/supersolutions u (in the viscosity sense) of the PDE determined by every operator which is compatible with the constraint set F. The crucial degenerate ellipticity often requires the operator to be restricted to a suitable constraint set G, which determines the admissibility. Applications to comparison principles by way of the duality-monotonicity-fiberegularity method will also be discussed.

Teorie potenziali generali si occupano dello studio di funzioni che sono subar- moniche rispetto un vincolo opportuno F nello spazio dei 2-jet. Pur essendo interessante in s´e, recentemente teorie potenziali generali giocano un ruolo fondamentale nello studio di equazioni alle derivate parziali determinate da operatori ellittici degeneri F che agis- cono sullo spazio dei 2-jet. Discuteremmo uno strumento potente, detto il principio di corrispondenza che stabilisce l’equivalenza tra funzioni F-subarmoniche/superarmoniche u e subsoluzioni/supersoluzioni ammissibili u (nel senso viscoso) della equazione deter- minata da ogni operatore F compatibile con F. La propriet`a cruciale che F sia ellittico degenere spesso richiede che l’operatore venga ristretto ad un vincolo opportuno G, che determina l’ammissibilit`a. Applicazioni ai principi di confronto tramite il metodo di dualit`a-monotonia-fiberegularit`a saranno anche discusse.