RELATIVE A1-CONTRACTIBILITY OF SMOOTH SCHEMES AND EXOTIC MOTIVIC SPHERES

One of the emerging problems in algebraic geometry is to characterize the affine n-space A^n among smooth affine schemes up to A^1-contractibility: a property that makes motivic spaces be homotopy equivalent to a field Spec k in the motivic homotopy theory. Recent efforts show that this characterization holds in dimensions n<3 over certain fields. In our work, we extend this observation to "reasonable" arbitrary base schemes in relative dimensions n<3, exploiting the Zariski local triviality and the triviality of the relative canonical sheaf. From dimensions n>2, the existence of smooth “exotic” affine schemes, those that are A^1-contractible but not isomorphic to the affine n-space, has already been established. A well-studied family constitutes the Koras-Russell threefolds K and their generalized prototypes X_n in higher dimensions, whose A^1-contractibility has been so far proven over fields of characteristic zero. In this direction, we extend the relative A^1-contractibility of K and X_n over a Noetherian base scheme in arbitrary dimensions. Furthermore, using these prototypes, we study the existence of “exotic spheres” - n-dimensional smooth schemes that are A^1-homotopic, but not isomorphic to A^n\{0}, in motivic homotopy theory. This result can be seen as the "compact" analog of the study of exotic affine schemes. Our main result shows that in all dimensions n>3, the quasi-affine varieties X_n\{pt } give a model for the exotic motivic spheres over infinite perfect fields. The novelty here is that these constitute the first family of examples of smooth motivic spheres of dimension n, which are not isomorphic to A^n\{0}.

Uno dei problemi emergenti nella geometria algebrica è quello di caratterizzare lo spazio affine n-dimensionale A^n tra schemi affini regolari a meno di A^1-contrazione: una proprietà che rende gli spazi motivici omotopicamente equivalenti a un campo Spec k nella teoria dell'omotopia motivica. Recenti studi dimostrano che questa caratterizzazione vale in dimensioni n<3 su determinati campi. Nel nostro lavoro, estendiamo questa osservazione a schemi “ragionevoli” di base arbitraria, in dimensioni relative n<3, sfruttando la trivialità locale di Zariski e la trivialità del fascio canonico relativo. A partire dalle dimensioni n>2, è già stata dimostrata l'esistenza di schemi affini regolari “esotici”, in altre parole, schemi che sono A^1-contraibili ma non isomorfi allo spazio affine n-dimensionale. Una famiglia ben studiata è costituita dalle tre-varietà K di Koras-Russell e dai loro prototipi generalizzati X_n in dimensioni superiori, la cui A^1-contraibilità è stata finora dimostrata su campi di caratteristica zero. In questa direzione, estendiamo la A^1-contraibilità relativa di K e X_n su uno schema di base Noetheriano in dimensioni arbitrarie. Inoltre, utilizzando questi prototipi, studiamo l'esistenza di “sfere esotiche” - schemi lisci n-dimensionali che sono A^1-omotopici, ma non isomorfi ad A^n\{0} nella teoria dell'omotopia motivica. Questo risultato può essere visto come l'analogo “compatto” dello studio degli schemi affini esotici. Il nostro risultato principale mostra che in tutte le dimensioni n>3, le varietà quasi affini X_n\{pt} forniscono un modello per le sfere motiviche esotiche su campi perfetti infiniti. Queste costituiscono la prima famiglia nota di esempi di sfere motiviche lisce di dimensione n, che non sono isomorfe a A^n\{0}.