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\begin{document}


\bigskip 2.IL\ MODELLO\ DI\ BLACK\ -SCHOLES\ E\ LA\ VALUTAZIONE\ DI\
UN'ATTIVITA'\ FINANZIARIA CONTINGENTE.

\bigskip

Il modello di mercato finanziario presentato in precedenza deve essere
ulteriormente potenziato ed arricchito introducendo le nozioni di
arbitraggio e di misura di martingala equivalente o misura neutrale rispetto
al rischio.

Se vogliamo determinare il valore di un'attivit\`{a} finanziaria derivata 
\`{e} necessario introdurre due teoremi fondamentali per l'analisi dei
mercati in tempo continuo. Il teorema di Girsanov prova l'esistenza in tempo
continuo di una di martingala equivalente e della conseguente assenza di
arbitraggio, mentre il teorema di rappresentazione dimostra la possibilit%
\`{a} di decomporre un processo stocastico come somma di due componenti di
cui uno \`{e} sicuramente una martingala.Tale decomposizione serve a
determinare il valore di un'attivit\`{a} contingente.

2.1 IL\ TEOREMA DI\ GIRSANOV

Nell'analisi dei mercati finanziari vengono utilizzate due misure di
probabilit\`{a}.

La prima \`{e} una misura di probabilit\`{a} oggettiva che corrisponde alla
distribuzione reale;mentre la seconda \`{e} una misura fittizia ottenuta da
una trasformazione della prima.Tale distribuzione definita come neutrale
rispetto al rischio consente di determinare in modo diretto il prezzo delle
attivit\`{a} finanziarie derivate trasformandole in martingale e puo' essere
utilizzata anche per impostare l'analisi della scelta del portafoglio
ottimale in alternativa al metodo del controllo stocastico.

Per chiarire questi temi possiamo inizialmente prendere in esame il modo in
cui \`{e} possibile trasformare la distribuzione di una variabile casuale ed
estendere successivamente l'idea anche alla distribuzione di probabilit\`{a}
di un processo stocastico.

Consideriamo una variabile casuale $x_{t}$ con distribuzione normale

$x_{t}\backsim N\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) $

la cui funzione di densit\`{a} \`{e} definita da

$f\left( x_{t}\right) =\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp -\dfrac{1}{2}%
\left( \dfrac{x-\mu }{\sigma }\right) ^{2}=\dfrac{dP\left( x\right) }{dx}$ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 1\right) $

dove $P$ rappresenta la funzione di distribuzione di probabilit\`{a}.

Possiamo trasformare in due modi una funzione di densit\`{a};possiamo agire
sulla forma della distribuzione modificando ad esempio la varianza oppure
possiamo spostare la funzione di densit\`{a} e modificare il suo valore
centrale lasciando inalterata la forma.

Per cambiare la media di x introduciamo \ la funzione $\xi \left( x\right)
=\exp \dfrac{-\left( -2\epsilon x+2\epsilon \mu +\epsilon ^{2}\right) }{%
2\sigma ^{2}}$ e la moltiplichiamo per la funzione di densit\`{a} originaria
ottenendo

$f\left( x_{t}\right) $ $\xi \left( x\right) =\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}%
\exp -\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{x-\mu }{\sigma }\right) ^{2}\ \exp \ \ 
\dfrac{-\left( -2\epsilon x+2\epsilon \mu +\epsilon ^{2}\right) }{2\sigma
^{2}}=$

$=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp $\ $-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{x-\mu
-\epsilon }{\sigma }\right) ^{2}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 2\right) $ \
\ \ 

La $\left( 2\right) $ rappresenta una nuova funzione di densit\`{a} che
indichiamo con $.\dfrac{d\widetilde{P}\left( x\right) }{dx}$, mentre $%
\widetilde{P}\left( x\right) $ rappresenta la nuova funzione di
distribuzione.

Rispetto alla funzione di densit\`{a} originaria vediamo come la
moltiplicazione per $\xi \left( x\right) $ abbia modificato la media
riducendola di un fattore $\epsilon ,$ lasciando inalterata la varianza.La
particolare forma funzionale di $\xi \left( x\right) $ trasforma quindi
l'esponente della normale originaria.

Dalla $\left( 1\right) $ e dalla $\left( 2\right) $ avremo allora che

\bigskip

\bigskip $\dfrac{dP\left( x\right) }{dx}\xi \left( x\right) =$\ \ $.\dfrac{d%
\widetilde{P}\left( x\right) }{dx}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ $\left( 3\right) $

ovvero

\bigskip $\xi \left( x\right) =\dfrac{\overset{\thicksim }{dP}\left(
x\right) }{dP\left( x\right) }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 4\right) $

Perch\`{e} la $\left( 4\right) $ abbia senso \`{e} necessario che le due
misure di probabilit\`{a} $P\left( x\right) $ e $\widetilde{P}\left(
x\right) $ siano equivalenti ovvero che le realizzazioni possibili siano le
stesse, mentre siano diverse le probabilit\`{a} di tali realizzazioni.Quindi 
$P\left( x\right) $ \`{e} equivalente a $\widetilde{P}\left( x\right) $ nel
senso che per ogni evento $\omega $ tale per cui $P\left( \omega \right) >0$
anche $\widetilde{P}\left( \omega \right) >0.$

Introduciamo ora un processo stocastico ausiliario definito da

$\xi _{t}=\exp \int\limits_{0}^{t}\epsilon _{u}dW_{u}-\dfrac{1}{2}%
\int\limits_{0}^{t}\epsilon _{u}^{2}du$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 5\right) $

\bigskip e imponiamo la condizione

\bigskip $E\left[ \exp \int\limits_{0}^{t}\epsilon _{u}^{2}du\right] $\ \ $%
<\infty $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 6\right) $

\bigskip La $\left( 6\right) $ \`{e} nota come condizione di Novikov.Se
questa condizione viene soddisfatta allora si dimostra che $\xi $ \`{e} una
martingala.

Applichiamo infatti il lemma di Ito alla $\left( 5\right) .$Avremo

$d\xi _{t}=\dfrac{\partial \xi _{t}}{\partial W_{t}}dW_{t}+\dfrac{1}{2}%
\dfrac{\partial ^{2}\xi }{\partial W_{t}^{2}}dW_{t}^{2}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 7\right) $

\bigskip Calcoliamo il primo termine della $\left( 7\right) $ e otteniamo

\bigskip $\dfrac{\partial \xi _{t}}{\partial W_{t}}dW_{t}=\dfrac{\partial }{%
\partial W_{t}}\left[ \exp \int\limits_{0}^{t}\epsilon _{u}dW_{u}-\dfrac{1}{2%
}\int \epsilon _{u}^{2}du\ \right] dW_{t}$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\xi _{t}\dfrac{\partial }{\partial W_{t}}%
\left[ \int\limits_{0}^{t}\epsilon _{u}dW_{u}-\dfrac{1}{2}\int \epsilon
_{u}^{2}du\right] dW_{t}$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\xi _{t}\epsilon _{t}dW_{t}$ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ $\left( 8\right) $

\bigskip

Notando poi che nel secondo termine

\bigskip $\dfrac{\partial ^{2}\xi _{t}}{\partial W_{t}^{2}}=0$

\bigskip possiamo riscrivere la $\left( 7\right) $ come

$d\xi _{t}=\xi _{t}\epsilon _{t}dW_{t}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ $\left( 9\right) $

\bigskip

\bigskip Si consideri poi il valore del processo $\xi $ al tempo 0.

$\xi _{0}=\exp \int\limits_{0}^{0}\epsilon _{u}dW_{u}-\dfrac{1}{2}%
\int\limits_{0}^{0}\epsilon _{u}^{2}du$ $=1$\ \ \ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \left( 10\right) $

e si calcoli l'integrale stocastico della $\left( 9\right) $ ottenendo

\bigskip $\xi _{t}=1+\int\limits_{0}^{t}\xi _{s}\epsilon _{s}dW_{s}$ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ $\left( 11\right) $

Ma \ $\int\limits_{0}^{t}\xi _{s}\epsilon _{s}dW_{s}$ \ \ \`{e} una
martingala con valore atteso uguale a zero.Quindi dalla $\left( 10\right) $
e dalla $\left( 11\right) $ avremo

$\bigskip $

$E\left( \xi _{t}\right) =$\ $\xi _{0}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ $\left( 12\right) $

Possiamo ora enunciare il seguente teorema:

Teorema di Girsanov

Sia il processo $\xi _{t}$ definito dalla $\left( 5\right) $ una
martingala.Definiamo un processo

$\widetilde{W}\left( t\right) =W\left( t\right) -\int\limits_{0}^{t}\epsilon
_{u}du$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ $\left( 13\right) $

Il processo definito dalla $\left( 13\right) $ \`{e} un moto browniano
rispetto ad una nuova misura di probabilit\`{a} definita da

$\xi =\dfrac{d\widetilde{P}\left( x\right) }{dP\left( x\right) }$ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 14\right) $

Questo teorema consentir\`{a} di trasformare l'evoluzione del prezzo dello
stock e di un portafoglio standard formato dallo stock e da un'attivit\`{a}
priva di rischio cosi' da escludere la possibilit\`{a} di arbitraggio.

2.2 MERCATI FINANZIARI\ E\ IL PREZZO\ DELLO\ STOCK \ CON\ PROBABILITA'\
NEUTRALE RISPETTO AL RISCHIO.

Dato un mercato finanziario standard \`{e} necessario introdurre alcune
definizioni e restrizioni che ci consentano di determinare il prezzo di
un'attivit\`{a} finanziaria di tipo derivato.

Con il termine portafoglio intendiamo un vettore $\theta \left( t\right)
=\left( \theta _{0}\left( t\right) ,\theta _{1}\left( t\right) \right) $
dove $\theta _{0}$ indica il numero di obbligazioni possedute al tempo t,
mentre $\theta _{1}$ indica il numero di azioni possedute al tempo t. Il
corrispondente valore del portafoglio al tempo t \`{e} definito da

$V^{\theta }\left( t\right) =\theta \left( t\right) P\left( t\right) =\theta
_{0}\left( t\right) P_{0}\left( t\right) +\theta _{1}\left( t\right)
P_{1}\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 15\right) $

Una strategia di portafoglio \`{e} definita ammissibile se $\theta
_{0}\left( t\right) $ e $\theta _{1}\left( t\right) $ sono $\digamma _{t-1}$
misurabili per $t=$ $1,2....T.,($cio\`{e} se $\theta \left( t\right) $ \`{e}
un processo predicibile) e inoltre se esiste un $K\left( \theta \right)
<\infty $ \ tale per cui

$V^{\theta }\left( t\right) \geq -K$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 16\right) $

Questa ipotesi esclude la possibilit\`{a} che l'investitore si indebiti
senza limiti e che la sua strategia di portafoglio sia quella di giocare
continuamente al raddoppio per recuperare eventuali perdite.

Una strategia ammissibile si autofinanzia se

$dV^{\theta }\left( t\right) =\theta \left( t\right) dP\left( t\right)
=\theta _{0}\left( t\right) dP_{0}\left( t\right) +\theta _{1}\left(
t\right) dP_{1}\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 17\right) $

Questo tipo di strategia implica quindi che l'investitore puo' redistribuire
la sua ricchezza tra diverse attivit\`{a} finanziarie senza aggiungere o
sottrarre fondi. Il valore del portafoglio al tempo t sar\`{a} allora uguale
al valore del portafoglio al tempo 0 a cui aggiungiamo o sottraiamo i
guadagni o le perdite in conto capitale attribuibili solo ad una variazione
dei prezzi delle attivit\`{a} finanziarie.

$V^{\theta }\left( t\right) =V^{\theta }\left( 0\right)
+\dint\limits_{0}^{t}\theta _{0}\left( s\right) dP_{0}\left( s\right)
+\dint\limits_{0}^{t}\theta _{1}\left( s\right) dP_{1}\left( s\right) $ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 18\right) $

Una strategia ammissibile $\theta $ che si autofinanzia con $V^{\theta
}\left( 0\right) =0$ \`{e} chiamata un'opportunit\`{a} di arbitraggio se $%
V^{\theta }\left( T\right) \geq 0$ e $P\left( V^{\theta }\left( T\right)
>0\right) >0.$

Analizziamo ora il comportamento di un'azione in un mercato caratterizzato
dall'assenza di arbitraggio e quindi dalla presenza di una misura di
probabilit\`{a} neutrale rispetto al rischio

Consideriamo ora l'evoluzione del prezzo $P_{1}$ dell'azione.Abbandoniamo
l'ipotesi di costanza di $\mu $ , $r$ e $\sigma .$Avremo allora

$dP_{1}\left( t\right) =\mu \left( t\right) P_{1}\left( t\right) dt+\sigma
\left( t\right) P_{1}\left( t\right) dW\left( t\right) $ $\ \ \ \ \ \ \ \ \
\left( 19\right) \ \ \ \ \ $

e introduciamo il processo di sconto

$D\left( t\right) =-e_{0}^{\int\limits^{t}r\left( s\right) d(s)}$ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ $\left( 20\right) $

\bigskip

e indichiano con $\ P_{1}^{\ast }\left( t\right) =D\left( t\right)
P_{1}\left( t\right) $ il prezzo scontato dello stock.

L'evoluzione del prezzo scontato sar\`{a} data da

$d\left( P_{1}^{\ast }\left( t\right) \right) =\left( \mu \left( t\right)
-r\left( t\right) \right) P_{1}^{\ast }\left( t\right) dt+\sigma \left(
t\right) P_{1}^{\ast }\left( t\right) dW\left( t\right) $ $\ $\ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 21\right) $

che possiamo anche riscrivere come

$d\left( P_{1}^{\ast }\left( t\right) \right) =\sigma \left( t\right)
P_{1}^{\ast }\left( t\right) \left( \Lambda \left( t\right) dt+dW\left(
t\right) \right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ $\left( 21a\right) $

dove $\Lambda =\dfrac{\mu -r}{\sigma }$ rappresenta il prezzo di mercato per
il rischio.

Utilizziamo a questo punto il teorema di Girsanov per modificare l'equazione 
$\left( 21\right) $

\bigskip Il teorema di Girsanov ci assicura che \`{e} possibile trovare un
processo adattato $\epsilon \left( t\right) $ e un nuovo processo di Wiener $%
\widetilde{W}\left( t\right) $ tale per cui

\bigskip $\widetilde{W}\left( t\right) =W\left( t\right)
-\int\limits_{0}^{t}\epsilon _{u}du$ \ \ \ \ \ 

che riscriviamo in forma differenziale come

$d\widetilde{W}\left( t\right) =dW\left( t\right) -$ $\epsilon \left(
t\right) dt$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 22\right) $

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

Alla $\left( 22\right) $ \`{e} associata una misura di probabilit\`{a}
definita dalla $\left( 14\right) $ e dalla $\left( 5\right) $.

Utilizziamo la $\left( 22\right) $ per sostituire $dW\left( t\right) $ nella 
$\left( 21\right) .$Otteniamo

\bigskip $d\left( P_{1}^{\ast }\left( t\right) \right) =\left( \mu \left(
t\right) -r\left( t\right) +\sigma \left( t\right) \epsilon \left( t\right)
\right) P_{1}^{\ast }\left( t\right) dt+\sigma \left( t\right) P_{1}^{\ast
}\left( t\right) d\widetilde{W}\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\
\left( 23\right) $

La $\left( 23\right) $\ \ rappresenta un nuovo processo stocastico rispetto
alla $\left( 21\right) $ indotto da un nuovo moto browniano e da una nuova
misura di probabilit\`{a}, ma non \`{e} ancora una martingala.Possiamo pero'
trasformarlo in martingala in modo molto semplice ponendo uguale a zero il
suo drift:

$\mu \left( t\right) -r\left( t\right) +\sigma \left( t\right) \epsilon
\left( t\right) =0$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 24\right) $

da cui ricaviamo

$\epsilon \left( t\right) =-$ $\ \ \ \dfrac{\mu -r}{\sigma }$ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ $\left( 25\right) $

Se vale la $\left( 24\right) $ la $\left( 23\right) $ si trasforma in

$d\left( P_{1}^{\ast }\left( t\right) \right) =\sigma \left( t\right)
P_{1}^{\ast }\left( t\right) d\widetilde{W}\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 26\right) $

da cui

\bigskip $P_{1}^{\ast }\left( t\right) =P_{1}\left( 0\right)
+\int\limits_{0}^{t}\sigma \left( u\right) P_{1}^{\ast }\left( u\right) d%
\widetilde{W}\left( u\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 27\right) $

Ma il secondo termine della $\left( 27\right) $ \`{e} un integrale di Ito e
quindi il valore attualizzato dello stock diventa una martingala.

La stessa conclusione riguarda il valore del portafoglio.Anche il valore del
portafoglio diventa una martingala.Lo possiamo vedere sostituendo
direttamente la $\left( 23\right) $ e il nuovo processo di Wiener nella $%
\left( 21a\right) .$

Consideriamo infatti un investitore che investe una certa somma V al tempo 0
acquistando $\theta _{1}$ unit\`{a} di azioni.Il valore delle azioni in
portafoglio in ogni periodo t sar\`{a} pari a $\theta _{1}P_{1}\left(
t\right) ,$mentre il valore delle obbligazioni sar\`{a} pari a $V\left(
t\right) -\theta _{1}P_{1}\left( t\right) .$Il portafoglio si autofinanzia e
quindi il suo differenziale in ogni periodo \`{e} dovuto al guadagno in
conto capitale $\theta _{1}dP_{1}\left( t\right) $ e agli interessi sulle
obbligazioni $r\left( V\left( t\right) -\theta _{1}P_{1}\left( t\right)
\right) .$Avremo quindi

$dV\left( t\right) =\theta _{1}dP_{1}\left( t\right) +r\left( t\right)
\left( V\left( t\right) -\theta _{1}P_{1}\left( t\right) \right) $ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 28\right) $

che possiamo riscrivere come

$dV\left( t\right) =\theta _{1}$ $\left( P_{1}\left( t\right) dt+\sigma
\left( t\right) P_{1}\left( t\right) dW\left( t\right) \right) +r\left(
t\right) \left( V\left( t\right) -\theta _{1}P_{1}\left( t\right) \right) dt$
\ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 29\right) $

ovvero

$dV\left( t\right) =r\left( t\right) V\left( t\right) dt+\theta _{1}\left(
\mu \left( t\right) -r\left( t\right) \right) P_{1}\left( t\right) dt+\theta
_{1}\sigma \left( t\right) P_{1}\left( t\right) dW\left( t\right) $

che tenuto conto della $\left( 24\right) $ riscriviamo come

$dV\left( t\right) =r\left( t\right) V\left( t\right) dt+\theta _{1}\sigma
\left( t\right) P_{1}\left( t\right) \left( \epsilon \left( t\right)
dt+dW\left( t\right) \right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
30\right) $

Supponiamo che il tasso di interesse sia costante.Allora $D\left( t\right)
=e^{-rt}.$Definiamo con $V^{\ast }\left( t\right) =V\left( t\right) e^{-rt}$
il valore scontato del portafoglio e con $P_{1}^{\ast }\left( t\right)
=P_{1}\left( t\right) e^{-rt}$ il valore scontato dello stock. Moltiplicando
ambo i lati della $\left( 30\right) $ per $e^{-rt}$otteniamo la variazione
nel valore del portafoglio scontato dell'investitore pari a

$d\left( V^{\ast }\left( t\right) \right) =\theta _{1}\sigma \left( t\right)
P_{1}^{\ast }\left( \epsilon \left( t\right) dt+dW\left( t\right) \right) $
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 31\right) $

Tenendo conto della $\left( 21a\right) $ riscriviamo la $\left( 31\right) $
come

$d\left( V^{\ast }\left( t\right) \right) =\theta _{1}d\left( P_{1}^{\ast
}\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
32\right) $

La $\left( 32\right) $ implica che una variazione del portafoglio scontato 
\`{e} attribuibile esclusivamente alla variazione del prezzo scontato dello
stock(si ricordi che lo stock non distribuisce dividendi).

\bigskip Utilizzando la $\left( 26\right) $ riscriviamo la $\left( 32\right) 
$ come

$d\left( V^{\ast }\left( t\right) \right) =\theta _{1}\sigma \left( t\right)
P_{1}^{\ast }d\widetilde{W}\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ $\left( 33\right) $

da cui

$V^{\ast }\left( t\right) =V\left( 0\right) +\int\limits_{0}^{t}\theta
_{1s}dP_{1s}^{\ast }$

$=V\left( 0\right) +\int\limits_{0}^{t}\theta _{1s}\sigma _{s}P_{1s}^{\ast }d%
\widetilde{W}_{s}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 34\right) $

Ma il secondo termine della $\left( 34\right) $ \`{e} una martingala a media
zero sotto la misura di responsabilit\`{a} neutrale rispetto al rischio.

Avremo quindi

$\widetilde{E}\left( V^{\ast }\left( t\right) \right) =V^{\ast }\left(
0\right) +\widetilde{E}\left[ \int\limits_{0}^{t}\theta _{1s}dP_{1s}^{\ast }%
\right] =V^{\ast }\left( 0\right) $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 35\right) 
$

dove $\widetilde{E}$ sta a di indicare un valore atteso calcolato non
secondo la probabilit\`{a} oggettiva ma secondo la probabilit\`{a} neutrale
rispetto al rischio che garantisce allo stock un rendimento pari al tasso di
interesse e trasforma l'evoluzione dello stock e del portafoglio in
martingala.

\bigskip

2.3 ARBITRAGGIO ,\ MISURA DI \ MARTINGALA E PRIMO TEOREMA FONDAMENTALE

\bigskip

Dalla precedente analisi dei mercati finanziari siamo arrivati alla
conclusione che il valore del portafoglio scontato \`{e} una martingala se
adottiamo la misura neutrale rispetto al rischio.L'esistenza di tale misura
ha conseguenze importanti sul funzionamento e sulle caratteristiche dei
mercati finanziari.

Definizione

In un mercato finanziario un portafoglio $V\left( t\right) $ assicura una
opportunit\`{a} di arbitraggio quando il suo valore al tempo iniziale \`{e}
uguale a zero,quindi $V\left( 0\right) =0$,mentre al tempo T $\ P\left\{
V\left( T\right) \geq 0\right\} =1$ e $P\left\{ V\left( T\right) >0\right\}
>0$.

Il fatto che il portafoglio sia quasi sicuramente non negativo e abbia\ anzi
una probabilit\`{a} positiva di essere positivo alla data T, significa che
esiste una possibilit\`{a} di conseguire un guadagno senza correre rischi
dal momento che il portafoglio al tempo iniziale vale zero .

E' evidente come un mercato finanziario che ammetta guadagni da arbitraggio
non sarebbe accettabile perch\`{e} starebbe a significare che tutti
potrebbero conseguire guadagni illimitati.L'esistenza di una misura di
probabilit\`{a} neutrale rispetto al rischio esclude tale possibilit\`{a}
come illustra il seguente

Teorema Fondamentale.

Se esiste una misura di probabilit\`{a} equivalente $\widetilde{P}$ allora
non esiste arbitraggiio.

\bigskip

Supponiamo per assurdo che esista un portafoglio $V\left( t\right) $ che
assicura un arbitraggio e che esista inoltre una misura di martingala
equivalente $\widetilde{P}$ $.$Le prima condizione implica che $V\left(
0\right) =0$ e $P\left( V\left( T\right) <0\right) <0.$D'altro lato $%
\widetilde{P}$ \`{e} una misura di probabilit\`{a} equivalente a P e quindi
avremo anche che $\widetilde{P}$ $\left( V\left( T\right) <0\right) <0.$Ma
questo implica che $\widetilde{E}\left( V^{\ast }\left( T\right) \right) >0$
il che rappresenta una contraddizione perch\`{e}

l'esistenza di una misura di probabilit\`{a} equivalente assicura che $%
\widetilde{E}\left( V^{\ast }\left( T\right) \right) =0$ .

\bigskip D'ora in avanti supponiamo che il mercato finanziario sia
caratterizzato da assenza di arbitraggio.

\bigskip 2.4 MERCATI FINANZIARI , COMPLETEZZA E PREZZO DELLE OPZIONI.

Abbiamo finora analizzato il funzionamento e la determinazione del prezzo
delle attivit\`{a} finanziarie fondamentali.Passiamo ora a determinare il
prezzo delle attivit\`{a} contingenti o derivate.Un'attivit\`{a} contingente 
\`{e} un'attivit\`{a} finanziaria con un payoff incerto che puo' essere
positivo o negativo.Il termine contingente si riferisce al fatto che il
payyoff di tale attivit\`{a} dipende dallo stato del mondo che si realizzer%
\`{a} nel periodo in cui dovranno essere effettuati i pagamenti promessi
dall'opzione;tale attivit\`{a} finanziaria \`{e} definita derivata perch\`{e}
il suo valore dipende dal valore delle attivit\`{a} finanziarie fondamentali.

Un'attivit\`{a} finaziaria contingente puo' essere definita finanziabile se
esiste un portafoglio formato da attivit\`{a} fondamentali il cui valore 
\`{e} analogo a quello dell'opzione in ogni momento e in ogni stato del
mondo.

Un mercato finanzario \`{e} completo se tutte le attivit\`{a} contingenti
possono essere finanziabili e quindi replicabili.In caso contrario siamo in
presenza di mercati incompleti.

Prendiamo in esame un particolare tipo di attivit\`{a} derivata:l'opzione.

L'opzione conferisce a chi la possiede il diritto non l'obbligo di
acquistare o vendere il titolo sul quale l'opzione \`{e} stata scritta ad un
determinato prezzo(strike price) entro una determinata data.Se l'opzione
puo' essere esercitata solo alla scadenza si parla di opzione di tipo
europeo,mentre se il possessore ha il diritto di esercitare l'opzione in
tutto il periodo compreso tra l'acquisto dell'opzione e la sua scadenza
parliamo di opzione di tipo americano.Un opzione \`{e} di tipo call se
conferisce il diritto di acquistare un titolo oppure \`{e} di tipo put se
conferisce il diritto di vendere un titolo.Ad esempio il possessore di
un'opzione call di tipo europeo valuter\`{a} se esercitare o meno l'opzione
confrontando il prezzo di esercizio con il prezzo di mercato dell'azione.

Supponiamo che i mercati siano completi.Questo significa che \`{e} possibile
costruire un portafoglio $\theta $ di attivit\`{a} finanziarie fondamentali
il cui valore \`{e} esattamente uguale al valore dell'opzione al momento
della sua scadenza.La replicabilit\`{a} delle opzioni \`{e} un altro aspetto
dell'assenza di arbitraggio.Il valore del portafoglio di replica deve essere
uguale al valore dell'opzione per evitare che il mercato finanziario
consenta il conseguimento di un guadagno senza rischio.

Possiamo sfruttare l'idea che assenza di arbitraggio sui mercati delle
attivit\`{a} fondamentali significa che un'attivit\`{a} finanziaria ha un
prezzo pari al suo valore atteso definito in termini di una misura di
martingala equivalente. Si dimostra che in questo caso il valore di
un'opzione \`{e} uguale al suo valore atteso scontato in termini di questa
misura di probabilit\`{a}.

Consideriamo un mercato finanziario standard con due attivit\`{a}
finanziarie(obbligazioni e azioni) e assenza di arbitraggio e introduciamo
una terza attivit\`{a} finanziaria un opzione call di tipo europeo.

Definiamo il prezzo dell'opzione con $P_{2}$ , il prezzo di esercizio con K
e indichiamo con T la data di scadenza.Noi non conosciamo il prezzo corrente
dell'opzione.Sappiamo solo che al tempo T dovremo avere

$P_{2}\left( T\right) =\left( S_{T}-K\right) ^{+}\equiv \max \left(
S_{T}-K,0\right) $

dal momento che l'opzione viene esercitata soltanto se $S_{T}>K.$

$P_{2}\left( T\right) $ rappresenta quindi una variabile casuale $\digamma
\left( T\right) $ misurabile,il payoff al tempo T dell'attivit\`{a}
finanziaria derivata.

Assenza di arbitraggio e replicabilit\`{a} significano anche che

$V^{\theta }\left( T\right) =P_{2}\left( T\right) =\left( P_{1}\left(
T\right) -K\right) ^{+}\equiv \max \left( P_{1}\left( T\right) -K,0\right) $
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

L'investitore investe al tempo 0 una certa somma V e acquisisce un
corrispondente portafoglio $\theta $ di azioni e bonds in modo tale da
assicurarsi al tempo T un capitale analogo al valore dell'opzione di tipo
europeo in scadenza.

In un contesto piu' generale possiamo analizzare il problema sottolineando
come lo scopo di un mercato finanziario sia quello di ridurre i rischi
legati a diversi tipi di attivit\`{a}.In particolare il mercato finanziatio
ha tra i suoi scopi quello di ridurre i rischi legati ad un pagamento futuro
che un soggetto deve effettuare senza conoscere con certezza l'entit\`{a}
del pagamento.Nel caso particolare che stiamo esaminando possiamo immaginare
che il problema sia quello di coprire una posizione short di una opzione
call.Riduzione del rischio significa creazione di un corrispondente
portafoglio che ha un valore analogo all'opzione al momento della sua
scadenza ed \`{e} quindi in grado di coprirsi a fronte di pagamento
derivanti dalla decisione di esercitare l'opzione call da parte del
possessore.

Il portafoglio di replica e l'opzione hanno lo stesso valore anche nel
periodo corrente se si vuole evitare arbitraggio. Di conseguenza se \`{e}
possibile determinare il valore del portafoglio \`{e} possibile anche
determinare il valore della attivit\`{a} derivata.

La teoria\ dell'arbitraggio precedentemente analizzata trova la sua
applicazione nella determinazione del valore corrente di un'attivit\`{a}
finanziaria derivata.

Dal momento che il valore del portafoglio di replica deve essere uguale al
valore dell'opzione \ e che in assenza di arbitraggio esiste una misura di
probabilit\`{a} che trasforma il portafoglio in una martingala, avremo dalla 
$\left( 35\right) $ che

$V^{\ast }\left( t\right) =E^{\ast }\left( V^{\ast }\left( T\right) \right)
=E^{\ast }\left( P_{2}^{\ast }\left( T\right) \right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 36\right) $

e quindi

$P_{2}^{\ast }\left( t\right) =E^{\ast }\left( V^{\ast }\left( T\right)
\right) =E^{\ast }\left( P_{2}\left( T\right) \right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 37\right) $

da cui

$P_{2}\left( t\right) =E^{\ast }\left( e^{r(T-t)}\left( S_{T}-K\right)
^{+}\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 38\right) $

2.5 TEOREMA\ DI RAPPRESENTAZIONE E IL PORTAFOGLIO DI REPLICA.

\bigskip

Se esiste una misura di probabilit\`{a} $\widetilde{P\text{ }}$ \
equivalente a P che trasforma in una martingala il prezzo scontato dello
stock allora, se si riesce a formare un portafoglio di replica, il prezzo al
tempo 0 dell'opzione \`{e} uguale al suo valore atteso scontato e calcolato
secondo questa nuova misura di probabilit\`{a}.

Fino ad ora abbiamo semplicemente supposto l'esistenza di un portafoglio di
replica.Possiamo dimostrare l'esistenza di tale portafoglio utilizzando il
teorema di rappresentazione delle martingale.Tale teorema dimostra come
qualsiasi martingala puo' essere rappresentata in termini di integrale
stocastico.Questo permette di costruire un portafoglio che replica una
attivit\`{a} derivata e di determinare di conseguenza il valore di tale
attivit\`{a} in termini di valore atteso rispetto a una misura di probabilit%
\`{a} neutrale rispetto al rischio.Enunciamo allora il seguente

Teorema di rappresentazione

Sia $W\left( t\right) $ un moto Browniano costruito su uno spazio di
probabilit\`{a} $\left( \Omega ,\digamma ,P\right) .$Sia $\digamma _{t}$ la
sua filtrazione naturale.Sia $\left\{ M_{t}\right\} _{0\leq t\leq T}$ una
martingala a quadrato integrabile rispetto a tale filtrazione.Allora esiste
un processo adattato $\left\{ \Psi _{t}\right\} _{_{0\leq t\leq T}}$ \ tale
per cui

$M_{t}=M_{0}+\int\limits_{0}^{T}$ $\Psi _{s}dW_{s}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ $\left( 39)\right) $

Si deve sottolineare come la precedente rappresentazione vale solo per
martingale in relazione alla filtrazione generata dal moto browniano.L'unica
informazione disponibile \`{e} quindi ottenuta osservando il moto browniano
fino al tempo t.

\bigskip Dalla $\left( 37\right) $ sappiamo che il valore scontato
dell'opzione al tempo t \`{e} dato da

\bigskip $P_{2}^{\ast }\left( t\right) =\widetilde{E}\left( P_{2}^{\ast
}\left( T\right) \right) $

$\bigskip $Applicando le propriet\`{a} del valore atteso condizionato avremo
per $0\leq s\leq t\leq T$ \ 

$\widetilde{E}(P_{2}^{\ast }\left( t\right) \mid \digamma _{s})=E^{\ast }%
\left[ E^{\ast }\left[ \left( P_{2}^{\ast }\left( T\right) \right) \mid
\digamma _{t}\right] \mid \digamma _{s}\right] $

\bigskip $\widetilde{E}\overset{}{(P_{2}^{\ast }\left( t\right) )}\mid
\digamma _{s})=E^{\ast }\left[ \left( P_{2}^{\ast }\left( T\right) \right)
\mid \digamma _{s}\right] $

$\widetilde{E}(P_{2}^{\ast }\left( t\right) )\mid \digamma _{s})=$ $%
P_{2}^{\ast }\left( s\right) $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 40\right) $

$P_{2}^{\ast }\left( t\right) $ \`{e} quindi una martingala.

Applicando il teorema di rappresentazione possiamo decomporre tale
martingala come somma di una costante e di un integrale stocastico.Otteniamo

\bigskip $P_{2}^{\ast }\left( t\right) =P_{2}\left( 0\right)
+\int\limits_{0}^{t}\Psi _{s}dW_{s}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 41\right) $

Sappiamo che in assenza di arbitraggio il valore dell'opzione al tempo t
deve essere uguale al valore del portafoglio di replica che \`{e} definito
dalla $\left( 34\right) .$Per verificarlo \`{e} necessario uguagliare gli
integrandi della $\left( 41\right) $ e della $\left( 34\right) .$Avremo
allora

\bigskip $\Psi \left( t\right) =\theta _{1}\left( t\right) \sigma \left(
t\right) \left( t\right) P_{1}^{\ast }\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 42\right) $

da cui ricaviamo

$\theta _{1}\left( t\right) =\dfrac{\Psi \left( t\right) }{\sigma \left(
t\right) P_{1}^{\ast }\left( t\right) }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 43\right) $

Se costruiamo un portafoglio in cui la quantit\`{a} di azioni \`{e} definita
dalla $\left( 43\right) $ otteniamo la replica in termini di valore
dell'opzione.

Abbiamo quindi provato che \`{e} possibile determinare il valore di
un'attivit\`{a} derivata introducendo una misura neutrale rispetto al
rischio che ci consente di eliminare la possibilit\`{a} di arbitraggio sui
mercati finanziari, di trasformare in martingala il prezzo dello stock e di
calcolare successivamente il prezzo di questa derivata come valore atteso
condizionato rispetto a questa misura di probabilit\`{a}.Abbiamo infine
dimostrato come sia possibile definire la composizione del portafoglio che
assicura la copertura dell'opzione, il cui valore cio\`{e} \`{e} identico in
ogni periodo e in ogni stato del mondo al valore dell'opzione.

Dobbiamo completare la nostra analisi determinando una espressione esplicita
per l'attivit\`{a} finanziaria derivata che nel nostro caso \`{e}
rappresentata da un'opzione call di tipo europeo.La precedente analisi
dimostra infatti l'esistenza di un portafoglio di replica ma non suggerisce
un modo per determinarlo.

2.6 DETERMINAZIONE DEL VALORE DI UN'OPZIONE DI TIPO\ EUROPEO.

Supponiamo per semplificare l'esposizione che $\mu $ e $\sigma $ siano
costanti.

Utilizziamo la $\left( 22\right) $ e la $\left( 24\right) $ per riscrivere
la $\left( 19\right) $ come

$dP_{1}\left( t\right) =rP_{1}\left( t\right) dt+\sigma P_{1}\left( t\right)
d\overset{\backsim }{W}\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 44\right) $

che possiamo risolvere per $P_{1}\left( t\right) $ ottenendo

$P_{1}\left( t\right) =P_{1}\left( 0\right) \exp \left\{ \widetilde{W}\left(
t\right) \sigma +\left( r-\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}\right) t\right\} $ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 45\right) $

da cui otteniamo il valore dello stock al tempo T definito da

$P_{1}\left( T\right) =P_{1}\left( t\right) \exp \left\{ \sigma (\widetilde{W%
}\left( T\right) -\widetilde{W}\left( t\right) )+\left( r-\dfrac{1}{2}\sigma
^{2}\right) (T-t)\right\} $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 46\right) $

\bigskip Sostituendo la $\left( 46\right) $ nella $\left( 38\right) $ e
calcolando il prezzo della derivata al tempo zero \ avremo

\bigskip $P_{2}\left( 0\right) =\widetilde{E}\left( e^{rT}\left( P_{1}\left(
t\right) \exp \left\{ \sigma (\widetilde{W}\left( T\right) -\widetilde{W}%
\left( 0\right) )+\left( r-\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}\right) T\right\}
-K\right) ^{+}\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 47\right) $

Dal momento che sotto la misura di probabilit\`{a} neutrale rispetto al
rischio, $($ $\widetilde{W}\left( T\right) -\widetilde{W}\left( 0\right) )$ 
\`{e} una variabile casuale normale a media zero e varianza $T$ \ avremo che

\ $P_{2}\left( 0\right) $\ \ \ \ \ $=\int\limits_{-\infty }^{\infty }$ $%
e^{-rT}\left( P_{1}\left( 0\right) \exp \left( r-\dfrac{1}{2}\sigma
^{2}\right) T+\sigma y\sqrt{T}-K\right) ^{+}$ $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp
\left( -\dfrac{y^{2}}{2}\right) dy$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 48\right) $

\bigskip dove $y=\dfrac{\widetilde{W}\left( T\right) -\widetilde{W}\left(
0\right) }{\sqrt{T}}$

Dobbiamo stabilire a questo punto l'intervallo in corrispondenza del quale
l'integrando della $\left( 48\right) $ \`{e} positivo.

Avremo che

$\bigskip P_{1}\left( 0\right) \exp \left( r-\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}\right)
T+\sigma y\sqrt{T}-K>0$

se e soltanto se

$y<d_{1}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
49\right) $

dove $\ d_{1}=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{T}}\left[ \log \dfrac{P_{1}\left(
0\right) }{K}+\left( r-\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}\right) T\right] $ \ \ \ \ \ \
\ \ \ $\left( 49a\right) $

\bigskip

Quindi la $\left( 48\right) $ puo' essere riscritta come

$\bigskip $

$\bigskip P_{2}\left( 0\right) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits_{-\infty
}^{d_{1}}$ $e^{-rT}\left( P_{1}\left( 0\right) \exp \left( r-\dfrac{1}{2}%
\sigma ^{2}\right) T+\sigma y\sqrt{T}-K\right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}dy$ \ \ 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits_{-\infty
}^{d_{1}}P_{1}\left( 0\right) \exp \left\{ -\dfrac{y^{2}}{2}-\sigma y\sqrt{T}%
-\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}T\right\} dy-\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}%
\int\limits_{-\infty }^{d_{1}}e^{-rT}Ke^{-\frac{1}{2}y^{2}}dy$ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ $(50)$

\bigskip\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

\ \ \ \ \ \ \ \ $=\dfrac{P_{1}\left( 0\right) }{\sqrt{2\pi }}%
\int\limits_{-\infty }^{d_{1}}\exp \left\{ -\frac{1}{2}\left( y+\sigma \sqrt{%
T}\right) ^{2}\right\} dy-e^{-rT}K\Phi \left( d_{1}\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 51\right) $

dove $\Phi \left( d\right) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits_{-\infty
}^{d}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}dy$ \`{e} la funzione di distribuzione normale
standardizzata cumulativa.

Sostituendo $z=y+\sigma \sqrt{T}$ nel primo integrale otteniamo

\bigskip $\dfrac{P_{1}\left( 0\right) }{\sqrt{2\pi }}\int\limits_{-\infty
}^{d_{1}+\sigma \sqrt{T}}\exp \left\{ -\dfrac{z^{2}}{2}\right\}
dz-e^{-rT}K\Phi \left( d_{1}\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 52\right) $

da cui

\bigskip

\bigskip $P_{2}\left( 0\right) =P_{1}\left( 0\right) \Phi \left(
d_{2}\right) -e^{-rT}K\Phi \left( d_{1}\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
53\right) $

dove $d_{2}=d_{1+}\sigma \sqrt{T}=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{T}}\left[ \log 
\dfrac{P_{1}\left( 0\right) }{K}+\left( r+\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}\right) T%
\right] $

La \ $\left( 53\right) $ rappresenta il prezzo di una opzione call di tipo
europeo secondo il modello di Black-Scholes.Tale valore \`{e} stato ottenuto
calcolando direttamente il valore atteso dell'opzione utilizzando la misura
neutrale rispetto al rischio.

\end{document}
