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\begin{document}


\bigskip LA SCELTA DI PORTAFOGLIO IN TEMPO CONTINUO.

In questo capitolo affronteremo il problema della scelta di portafoglio.Un
investitore dotato di un certo capitale iniziale deve decidere quanto
consumare e quanto investire in un certo periodo di tempo e
contemporaneamente definire la composizione del suo portafoglio.

L'investitore si pone come obiettivo di massimizzare la funzione di utilit%
\`{a} attesa nell'intervallo di tempo preso in considerazione.

1.UN MODELLO DI MERCATO FINANZIARIO IN TEMPO CONTINUO.

Il mercato finanziario \`{e} caratterizzato dalla presenza di due attivit%
\`{a}.Un'obbligazione priva di rischio e un'azione.Indichiamo con $%
P_{0}\left( 0\right) $ il prezzo dell' obbligazione al tempo 0 $.$Se il
tasso di interesse $r$ \`{e} una costante positiva \ la dinamica
dell'obbligazione sar\`{a} definita da

$dP_{0}(t)=rP_{0}(t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
1\right) $

Se il tasso d'interesse \`{e} calcolato in tempo continuo il valore
dell'obbligazione al tempo t sar\`{a} dato da

$P_{0}\left( t\right) =P_{0}(0)e^{rt}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \left( 2\right) $

Nel caso in cui il tasso d'interesse fosse variabile avremmo che

\bigskip $P_{0}\left( t\right) =P_{0}\left( 0\right) \exp $\ \ $%
\dint\limits_{0}^{t}$\ $r\left( s\right) $\ $d\left( s\right) $\ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 3\right) 
$

Supponiamo poi che esista un'altra attivit\`{a} finanziaria un'azione e
indichiamo il suo prezzo con $P_{1}\left( t\right) $ .A differenza
dell'obbligazione questa attivit\`{a} implica una componente stocastica e il
suo prezzo oscilla intorno ad un tasso di rendimento atteso $\mu $ .La
dinamica dell'azione \`{e} descritta dalla seguente equazione differenziale
stocastica o processo di diffusione

$dP_{1}\left( t\right) =\mu P_{1}\left( t\right) dt+\sigma P_{1}\left(
t\right) dW\left( t\right) $ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 4\right) $

$P_{1}\left( 0\right) =P_{1}$

dove il tasso di rendimento atteso $\mu $ rappresenta la tendenza
dell'azione ad aumentare nel corso tempo ( drift del processo) ed \`{e}
ragionevole presumere sia maggiore del tasso di interesse sull'obbligazione
priva di rischio.Se $\sigma $ oppure $dW$ fossero uguali a zero la dinamica
dell'azione sarebbe analoga \ a quella dell'obbligazione con $\mu >r$ \ e si
ridurrebbe ad un'equazione differenziale.

$\sigma $ \`{e} definito il coefficiente di diffusione e $\sigma P_{1}\left(
t\right) dW\left( t\right) $ rappresenta l'oscillazione stocastica intorno
al tasso di rendimento atteso.Nel caso in cui $\mu $ e $\sigma $ siano
costanti avremo che la soluzione di tale equazione differenziale \`{e} data
da

\bigskip $P_{1}\left( t\right) =P_{1}\left( 0\right) \exp \left\{ \sigma
W\left( t\right) +(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^{2})t\right\} $ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 5\right) $

Prima di analizzare il significato del secondo termine della $\left(
4\right) $ osserviamo come la $\left( 2\right) $ possa essere espressa in
forma log-lineare

\bigskip $\ln P_{0}(t)=\ln P_{0}(0)\ +rt\ \ \ $

e in modo simile la (5) puo essere scritta in forma log-lineare come

$\ln P_{1}(t)=\ln P_{1}(0)\ +\mu t\ +$ $\epsilon _{t}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 6\right) $

ovvero

$\epsilon _{t}=\ln P_{1}(t)-\ln P_{1}(0)\ -\mu t\ \ \ $

dove $\varepsilon _{t}$ rappresenta una componente stocastica intesa come
differenza tra valore corrente di un'azione e il suo trend.

Possiamo avanzare a questo punto alcune ipotesi sulle caratteristiche che
dovrebbe avere la componente stocastica genericamente indicata nella $\left(
6\right) $ e piu' in generale sui problemi che sorgono quando si prendono in
esame processi dinamici in condizione di incertezza.

Se si crede che i mercati finanziari siano istituzioni estremamente
efficienti nell'utilizzare tutte le informazioni riguardanti le attivit\`{a}
finanziarie, \`{e} presumibile che il prezzo di equilibrio delle attivit\`{a}
finanziarie rifletta in tempi brevissimi tali informazioni.Se cosi' non
fosse chi ritiene il prezzo di un'attivit\`{a} finanziaria troppo basso lo
comprer\`{a},mentre chi lo ritiene troppo alto lo vender\`{a}.Il prezzo di
equilibrio riflette le loro opinioni che a loro volta si fondano sulle
informazioni che arrivano sul mercato.

Da questa premessa possiamo dedurre che l'andamento dei prezzi delle attivit%
\`{a} finaziarie \`{e} caratterizzato dal fatto che tutte le loro variazioni
rappresentano deviazioni casuali rispetto ai prezzi precedenti.Se
l'informazione di oggi si riflette immediatamente sui prezzi allora la
variazione dei prezzi di domani sar\`{a} la conseguenza di nuove
informazioni che oggi non sono disponibili.Ma le notizie di domani non sono
prevedibili e quindi anche la variazione del prezzo delle attivit\`{a}
finanziarie sar\`{a} completamente imprevedibile e casuale.In termini
formali questo significa che

$\epsilon _{t}\backsim $ $IID\left( 0,\sigma ^{2}\right) $

dove $\epsilon _{t}$ \`{e} indipendentemente e identicamente distribuito con
media 0 e varianza $\sigma ^{2}.$Se ipotizziamo inoltre che gli incrementi
del prezzo dello stock abbiamo una distribuzione normale avremo che la
dinamica del prezzo dello stock sar\`{a} data da

\bigskip $\ln P_{1}(t)=\ln P_{1}(0)\ +\mu t\ +$ $\epsilon _{t}$\ \ $\ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \epsilon _{t}\backsim $ $IID$ $N$ $\left( 0,\sigma
^{2}\right) $ $\ \ \ \ \ \ \ \left( 6a\right) $

Inoltre la distribuzione degli incrementi $\epsilon \left( t\right)
-\epsilon \left( s\right) $ sar\`{a} distribuita secondo $N$ $\left(
0,\sigma ^{2}\left( t-s\right) \right) $ \ \ per $s\in \left( 0,t\right) $.

In tempo discreto il processo stocastico $\epsilon _{t}$ \`{e} definito come
passegiata casuale;in tempo continuo costruiremo nel terzo paragrafo
l'analogo moto browniano. Prima pero ' \`{e} necessario strutturare il modo
in cui l'informazione diventa disponibile e il tipo di informazione che gli
investitori hanno a disposizione.Ad esempio dovremmo poter escludere
dall'informazione disponibile l'informazione che si riferisce \ a stati del
mondo futuri perch\`{e} la previsione perfetta non esiste in un ambiente per
definizione incerto e l'insider trading \`{e} proibito per legge.Al tempo
stesso se volessimo calcolare il valore atteso condizionato dei prezzi
futuri di un'attivit\`{a} finanziaria dovremmo identificare l'informazione
corrente che puo' essere utilizzata in tale valutazione.

Ci sono due modi complementari per analizzare questi problemi.Da un lato 
\`{e} necessario strutturare il flusso di informazione in tempo continuo e
dall'altro introdurre una particolare restrizione sul processo stocastico
che guida l'evoluzione dei prezzi delle attivit\`{a} finanziarie.Nei
prossimi due paragrafi affronteremo questi due problemi.

2.PROCESSI STOCASTICI \ E INFORMAZIONE.

Introduciamo ora l'idea di processo stocastico.

Un processo stocastico \`{e} un modo per rappresentare la realizzazione nel
corso del tempo di un fenomeno casuale.Un processo stocastico \`{e} una
famiglia parametrizzata$\left\{ X_{t};t\in T\right\} $ di variabili casuali
definita su uno spazio di probabilit\`{a} $\left( \Omega ,B,P\right) $.

$\Omega $ rappresenta gli stati del mondo

Lo spazio misurabile $\left( \Omega ,B\right) $ \`{e} detto spazio
campionario.

I punti dell'insieme T rappresentano il tempo.Se T \`{e} un intervallo della
linea reale avremo un processo in tempo continuo, se T \`{e} un sottoinsieme
degli interi avremo un processo in tempo discreto.

Ogni processo stocastico definito su uno spazio campionario $\left( \Omega
,B,P\right) $ assume valori su un secondo spazio misurabile$\left(
S,B(S\right) ),$che viene definito come spazio degli stati.Si assume che
tale spazio sia uno spazio euclideo a una o piu' dimensioni a cui \`{e}
associata la $\sigma -$algebra di Borel B(S)

Un processo stocastico \`{e} quindi una funzione di due variabili $t$ $\in $ 
$T$ e $\omega \in \Omega $; possiamo ottenere intuizioni differenti del suo
significato considerando una delle due variabili come parametro.Ad esempio \
se fissiamo $\omega $ otteniamo una funzione $X\left( \omega ,\cdot \right) $
che rappresenta la traiettoria o realizzazione di un processo
stocastico,mentre se fissiamo t otteniamo $X(\cdot ,t)$ le possibili
realizzazioni(casuali) del processo nello stesso istante di tempo t.Se le
due variabili sono sullo stesso piano \ avremo che un processo stocastico 
\`{e} una funzione X : $\Omega \times $ $T\rightarrow $ $S$ e $X(t,\omega )$
rappresenta la realizzazione di X nello stato $\omega \in \Omega $ al tempo $%
t\in T.$

La definizione di processo stocastico non sarebbe comunque operativa se non
ci fosse il modo di capire come l'incertezza descritta dal processo
stocastico fosse ridotta ovvero come un individuo in un ambiente incerto
riesca ad acquisire con il passare del tempo un informazione parziale che
gli consenta di prendere decisioni razionali.E' quindi utile circoscrivere
l'informazione disponibile ad un agente in qualsiasi istante.Nei modelli dei
mercati finanziari solitamente si ipotizza che gli investitori conoscano il
passato e il presente,mentre non \`{e} loro consentito avere informazioni
certe sull'andamento futuro dei mercati quando devono prendere delle
decisioni.

In questo contesto informazione significa esclusione progressiva di alcuni
tipi di realizzazioni possibili al momento iniziale dell'intervallo $\left[
0,T\right] $ che prendiamo in esame.

Il fatto che l'informazione sia collegata ad una ''separazione'' progressiva
dello spazio campionario conduce al legame tra informazione e
partizione.Possiamo formalizzare l'idea di informazione parziale
introducendo il concetto di partizione e considerando uno spazio campionario
finito.

Una partizione dello spazio campionario $\Omega $ \`{e} una famiglia $E$ di
sottoinsiemi disgiunti $B_{1},B_{2}.....B_{m}$ di $\Omega $, la cui unione 
\`{e} uguale all'intero spazio campionario.Deve quindi valere

$B_{i}\cap B_{j}=\emptyset $ per $i\neq j$

$\Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup .....\cup $ $B_{m}$

Ognuno degli insiemi $B_{1}.....B_{m}$ \`{e} chiamato atomo della partizione

Al momento t=0 ogni $\omega \in \Omega $ \`{e} possibile anche se le
probabilit\`{a} della sua realizzazione sono diverse e quindi $E_{0}=\Omega $%
.Al tempo t otteniamo l'informazione che $\omega \in B_{t}$ e non appartiene
al suo complemento $B_{t}^{c}.$quindi il vero stato del mondo appartiene al
tempo t a $B_{t}$ e non a $B_{t}^{c}.$Il guadagno in termini di informazione
piu' dettagliata consiste nel fatto che $B_{t}$ \`{e} un sottoinsieme di $%
\Omega $ che costituiva lo spazio campionario al tempo $0.$

Usiamo quindi una partizione $E$ di $\Omega $ per rappresentare il grado di
precisione con cui l'informazione relativa alla realizzazione di un processo
stocastico diventa disponibile.Utilizzando la partizione E possiamo
conoscere a quale degli atomi appartiene la realizzazione,ma non sappiamo
con precisione quale elemento di questo sottoinsieme \`{e} ill vero
risultato.

Ad esempio quando lanciamo un dado potremmo venire a sapere che il risultato 
\`{e} pari o dispari,non il risultato effettivo dell'esperimento.

Supponiamo che gli elementi di $\Omega $ siano uguali a k.allora possiamo
identificare diverse partizioni con gradi differenti di informazioni.

Esempio 1.

$E_{0}=\Omega =\left\{ \left\{ \omega _{1},\omega _{2}.....\omega
_{k}\right\} \right\} $ rappresenta una partizione nulla o triviale.Sappiamo
solo che uno degli eventi \`{e} accaduto e il contenuto di tale informazione
rappresenta l'informazione meno dettagliata possibile.

$E_{T}=\left\{ \left\{ \omega _{1}\right\} ,\left\{ \omega _{2}\right\}
.....\left\{ \omega _{k}\right\} \right\} $ rappresenta una partizione
discreta con il massimo di informazione possibile dal momento che ogni stato 
\`{e} distinto dall'altro ed otteniamo cosi' un piena informazione sul
risultato dell'esperimento casuale.

$E_{t}=\left\{ \left\{ \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\right\} ,\left\{
\omega _{4}\right\} \left\{ \omega _{5,}\omega _{6}\right\} ,\left\{ \omega
_{7}.....\omega _{k}\right\} \right\} $ rappresenta una partizione che
fornisce la seguente informazione:se si realizza lo stato $\omega _{4}$
allora chi partecipa al mercato finanziario sa che si \`{e} verificato
esattamente questo evento;se si verifica $\omega _{1},\omega _{2}$ oppure $%
\omega _{3}$ allora ai mercati arriva l'informazione che si \`{e} verificato
uno di questi tre stati si \`{e} verificato,ma non quale dei tre.Se si
verifica $\omega _{5}$ oppure $\omega _{6}$ allora i mercati vengono a saper
che uno dei due si \`{e} verificato ma non quale dei due e se si verifica un
evento compreso tra $\omega _{7}$ e $\omega _{k}$ i mercati sanno che un
evento compreso tra i due si \`{e} verificato ma non quale esattamente.

Esempio 2.

Supponiamo di lanciare una moneta tre volte in successione;lo spazio
campionario $\Omega $ \`{e} rappresentato da otto realizzazioni(k=8)

$\left\{ HHH\right\} =\omega _{1};\left\{ HHT\right\} =\omega _{2};\left\{
HTH\right\} =\omega _{3};\left\{ HTT\right\} =\omega _{4};\left\{
THH\right\} =\omega _{5};\left\{ THT\right\} =\omega _{6};\left\{
TTH\right\} =\omega _{7};\left\{ TTT\right\} =\omega _{8}$

Ad ogni lancio osserviamo H oppure T e quindi l'evoluzione dinamica della
partizione P sar\`{a} data da

$E_{0}=\left\{ \left\{ \omega _{1},\omega _{2}.....\omega _{8}\right\}
\right\} $

$E_{1}=\left\{ \left\{ \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3,}\omega
_{4}\right\} ,\left\{ \omega _{5,}\omega _{6},\omega _{7},\omega
_{8}\right\} \right\} $

$E_{2}=\left\{ \left\{ \omega _{1},\omega _{2}\right\} ,\left\{ \omega
_{3,}\omega _{4}\right\} ,\left\{ \omega _{5,}\omega _{6}\right\} ,\left\{
\omega _{7},\omega _{8}\right\} \right\} $

$E_{3}=\left\{ \left\{ \omega _{1}\right\} ,\left\{ \omega _{2}\right\}
,\left\{ \omega _{3}\right\} ,\left\{ \omega _{4}\right\} ,\left\{ \omega
_{5}\right\} ,\left\{ \omega _{6}\right\} ,\left\{ \omega _{7}\right\}
,\left\{ \omega _{8}\right\} \right\} $

Ogni partizione \`{e} ottenuta dalla partizione al tempo precedente
suddividendo gli insiemi di quest'ultima cosi' da ottenere insiemi piu'
piccoli.

Sempre riferendoci al precedente esempio notiamo come sia possibile
rappresentare ad ogni stadio l'accumulazione della informazione relativa ad
uno degli otto esiti finali possibili del processo stocastico.Se ad esempio
si verifica l'evento $\omega _{8}$ al tempo $0$ l'informazione sar\`{a}
definita da $\left\{ \left\{ \omega _{1},\omega _{2}.....\omega _{8}\right\}
\right\} ,$al tempo 1 da $\left\{ \omega _{5,}\omega _{6},\omega _{7},\omega
_{8}\right\} ,$al tempo 2 da $\left\{ \omega _{7},\omega _{8}\right\} ,$al
tempo 3 da $\left\{ \omega _{8}\right\} $

Una struttura di informazione definita rispetto ad uno spazio campionario
finito che contiene k stati del mondo \`{e} rappresentata da una successione
di partizioni $E_{0},E_{1}....E_{T}$ \ tale per cui

a.al tempo iniziale $E_{0}=\left\{ \left\{ \omega _{1},\omega
_{2}.....\omega _{k}\right\} \right\} $

b.al tempo finale $E_{T}=\left\{ \left\{ \omega _{1}\right\} ,\left\{ \omega
_{2}\right\} ,......\left\{ \omega k\right\} \right\} $

c.al tempo intermedio t la partizione $\ E_{t}$ \`{e} piu' raffinata della
partizione $E_{t-1}.$

La partizione $E_{t}$ si dice piu' raffinata della partizione $E_{t-1}$ se
ogni ogni insieme di $E_{t-1}$ \`{e} un sottoinsieme di qualche insieme di $%
E_{t}.$Il fatto che la partizione diventi piu' raffinata sta a significare
che l'informazione aumenta con il passare del tempo.

Qualsiasi successione di partizioni puo' essere rappresentata come albero
degli eventi.

Sia $E_{0},E_{1}....E_{T}$ \ una successione di partizioni di $\Omega $ con
le caratteristiche a,b,c.Per ogni data $\ t\in T$ \ e ogni sottoinsieme $%
B_{{}}\in E_{t},$il paio $\left( t,B\right) $ \`{e} chiamato nodo.

L'insieme N che consiste di tutti i nodi definito da

$N=\cup \left( t,B\right) $ per $t\in T$ e per $B\in E_{t}$

\`{e} chiamato albero degli eventi generato da E e rappresenta un grafico
orientato che descrive l'insieme delle realizzazioni del processo stocastico.

Un nodo $\left( T,B\right) $ dove $B\in E_{T}$ \`{e} definito un nodo
terminale.I nodi terminali formano un insieme definito da

$N_{T}=\cup \left( T,B\right) $ per $B\in E_{T}.$l'esito del processo
stocastico \`{e} individuato da uno dei nodi terminali.Dal nodo terminale
esiste un unico sentiero che definisce la traiettoria o realizzazione del
processo stocastico fino al nodo iniziale definito da

$N_{0}=\cup \left( 0,B\right) $ dove $B=\Omega $

Tutte le traiettorie collegano i nodi terminali al nodo iniziale passando
per i nodi intermedi e rappresentano la totalit\`{a} degli esiti possibili
del processo.

Da un punto vista matematico \`{e} possibile rappresentare l'evoluzione
dell'informazione stabilendo per il caso finito una connessione tra
partizione e algebra,perch\`{e} data una partizione \`{e} sempre possibile
operare sui sottoinsiemi della partizione attraverso unioni,intersezioni e
complementazioni cosi' da ottenere un algebra.

Si ricordi che un' algebra \`{e} una collezione di eventi $F$ con le
seguenti propriet\`{a}:

$1.\emptyset \in F$

$2.A\in F$ $\Longrightarrow A^{c}\in F$

\bigskip $3.A,B\in F$ $\Longrightarrow A\cup B\in F$

Nell'esempio 2 ad esempio data la partizione iniziale $E_{0}=\Omega $ avremo
una corrispondente algebra $F_{0}=\left\{ \emptyset ,\Omega \right\} ;$data
la partizione $E_{1}$ avremo l'algebra corrispondente $F_{1}$ $=\left\{
\emptyset ,\Omega ,\left\{ \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3,}\omega
_{4}\right\} ,\left\{ \omega _{5,}\omega _{6},\omega _{7},\omega
_{8}\right\} \right\} .$L'informazione che possiamo ottenere a seguito del
lancio della moneta(testa o croce) \`{e} analoga in termini di algebra e in
termini di partizione.In termini di algebra se l'evento appartiene al tempo
1 ad uno dei quattro insiemi che formano un algebra riusciamo a conoscere il
risultato del primo lancio della moneta.In corrispondenza della partizione $%
E_{2}$ avremo un'algebra $F_{2}$ composta dai quattro insiemi della
partizione,i loro complementi e e le loro unioni,in tutto sedici insiemi e
infine al tempo 3 la partizione $E_{3}$ genera un'algebra $F_{3}$ uguale
all'insieme potenza di $\Omega ,$l'insieme di tutti i sottoinsiemi di $%
\Omega $ pari nel nostro caso a 256 elementi.La partizione non \`{e} altro
che il piu' piccolo insieme di sottoinsiemi della corrispondente algebra;

$E_{t}=\left\{ A\in F_{t};A\neq \emptyset ,A\cap B=A\text{ oppure =}%
\emptyset \text{ ,}\forall B\in F_{t}\right\} .$Quindi data un'algebra \`{e}
sempre possibile ottenere una partizione di $\Omega $ che \`{e}
unica.Viceversa per arrivare alla partizione partendo dall'algebra \`{e}
sufficiente eliminare tutti gli insiemi ottenuti dall'unione di altri
insiemi dell'algebra.

Le algebre che abbiamo ottenuto partendo dalle partizioni sono indicizzate
rispetto al tempo e tali per cui $F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset
F_{3}$ e piu' in generale per ogni successione $\left\{ F_{t}\right\} $ di
algebre deve valere $F_{t-1}\subset F_{t}$ dal momento che ogni elemento di $%
F_{t-1}$ \`{e} un elemento di $F_{t}$

Se lo spazio campionario \`{e} infinito il concetto di partizione e di
algebra non \`{e} piu' utilizzabile perch\`{e} legato alla teoria della
probabilit\`{a} su spazi finiti o numerabili e deve essere invece utilizzato
il concetto di filtrazione che rappresenta l'evoluzione dell'informazione
rispetto ad uno spazio campionario infinito e alle $\sigma -$algebre degli
eventi ad esso associato.

Si ricordi che un insieme F di sottoinsiemi di $\Omega $ \`{e} chiamato un
algebra se

$1.\emptyset \in F$

$2.A\in F$ $\Longrightarrow A^{c}\in F$

$3.$Per ogni successione $\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{\infty }$ tale per
cui $A_{i}\in F$ per ogni $i\geq 1$ abbiamo $\bigcup\limits_{i=1}^{\infty
}A_{i}\in F$

Questa premessa conduce alla seguente definizione:

Una filtrazione definita su uno spazio di probabilit\`{a} $\left( \Omega
,F,P\right) $ \`{e} una successione non decrescente di sotto-$\sigma -$%
algebre tale per cui

$F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}......\subseteq F_{t}....\subseteq F$ e $%
F_{t}$ \`{e} una $\sigma -$algebra per ogni t.

Le $\sigma -$algebre sono indicizzate rispetto al tempo e tali per cui $%
F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset F_{3}$ e piu' in generale per ogni
successione $\left\{ F_{t}\right\} $ di algebre deve valere $F_{t-1}\subset
F_{t}$ dal momento che ogni elemento di $F_{t-1}$ \`{e} un elemento di $%
F_{t}.$La $\sigma -$algebra $F_{t}$ registra l'incremento di informazione
che si realizza con il passare del tempo come nel caso finito perch\`{e} ci
dice al tempo t se l'evento $\omega $ appartiene ad un insieme della $\sigma
-$algebre.

Definiamo $\left\{ \Omega ,F,\left\{ F_{t}\right\} _{t\geq 0},\right\} $
spazio misurabile filtrato e $\left\{ \Omega ,F,\left\{ F_{t}\right\}
_{t\geq 0},P\right\} $ base stocastica o spazio di probabilit\`{a} filtrato.

La filtrazione \`{e} crescente e questo sta a significare che ad ogni
istante t l'informazione acquisita all'istante t-1,t-2,t-3 etc. non viene
dimenticata ma entra a far parte dell'informazione corrente rappresentata
dalla $\sigma -$algebra $B_{t},$l'informazione accumulata fino al momento t.

La filtrazione \`{e} continua a destra se $F_{t}=\cap _{s>t}F_{s}$ per ogni $%
t\geq 0.$Questo significa intuitivamente che l'informazione disponibile al
tempo t \`{e} analoga a quella disponibile in un intervallo di tempo
infinitesimo successivo al tempo t.

La filtrazione $F$ puo' essere sostituita da una filtrazione allargata $%
\overset{\thicksim }{F}$ definita dall'unione di $F$ e degli eventi con
probabilit\`{a} zero.Si dice che la filtrazione \`{e} stata completata.La
misura di probabilit\`{a} definita sulla sigma-algebra originaria puo'
essere estesa alla sigma-algebra completata con gli insiemi di misura
zero.In questo caso si dice che lo spazio di probabilit\`{a} $\left\{ \Omega
,F,P\right\} $ \`{e} completo

Si dice che $\left\{ \Omega ,F,\left\{ F_{t}\right\} _{t\geq 0},\right\} $
soddisfa le condizioni abituali se $\left\{ \Omega ,F,P\right\} $ \`{e}
completo,$F_{0}$ contiene tutti gli insiemi con probabilit\`{a} zero e $%
F_{t} $ \`{e} continuo \ a destra.

Un processo stocastico $X_{t}$ \ \`{e} detto adattato alla filtrazione $%
F_{t} $ se per ogni $t\in R^{+},$ $X_{t}$ risulta essere misurabile rispetto
alla $\sigma -$algebra $F_{t}.$L'idea di processo adattato stabilisce un
legame tra processo stocastico e le sue realizzazioni da un lato e la
risoluzione dell'incertezza dall'altro.La risoluzione dell'incertezza si
manifesta attraverso attraverso la filtrazione e quindi processo adattato
significa che le decisioni dell'investitore al tempo t sono condizionate
dall'informazione disponibile al tempo t.La $\sigma -$algebra $F_{t}$
rappresenta l'insieme di eventi che si possono verificare prima del oppure
al tempo t, l'archivio storico dei sentieri del processo stocastico fino a
quel momento.

3.\ IL MOTO BROWNIANO.

Il punto di partenza nel modellare le fluttuazioni stocastiche dei mercati
finanziari \`{e} rappresentato dal processo di Wiener o moto Browniano,un
tipo particolare di processo stocastico.

Un moto browniano standard in una dimensione \`{e} un processo stocastico
adattato $W=\left\{ W_{t},F_{t};0\leq t<\infty \right\} $ definito su uno
spazio di probabilit\`{a} $\left\{ \Omega ,F,P\right\} $ con le seguenti
propriet\`{a}:

a.$W(0)=0$ con probabilit\`{a} 1

b.$W$ \`{e} continuo rispetto a t

c.gli incrementi sono indipendenti

d.Se $0\leq s\leq t$ allora l'incremento $W\left( t\right) -W\left( s\right) 
$ \`{e} normalmente distribuito con media zero e varianza $\left( t-s\right) 
$

Per ottenere una interpretazione intuitiva del moto browniano possiamo
partire da un processo stocastico in tempo discreto.

Consideriamo un certo intervallo di tempo che indichiamo con $\Delta t$;in i
questo periodo la variabile casuale x \ puo' aumentare o diminuire di un
ammontare $h.$La probabilit\`{a} che aumenti \`{e} indicata con p mentre la
probabilit\`{a} che diminuisca \`{e} indicata con 1-p=q.Quindi avremo

$pr(x=+h)=p$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
pr(x=-h)=1-p=q$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 7\right) $

x \`{e} una prova di Bernoulli con media $E\left( x\right) =\left(
p-q\right) h.$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 8\right) $

Si noti inoltre che $E\left( x\right) ^{2}=ph^{2}-qh^{2}=h^{2}$ e di
conseguenza

$Var\left( x\right) =\left[ 1-\left( p-q\right) ^{2}\right] h^{2}=4pqh^{2}$
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 9\right) $

Consideriamo ora un intervallo di tempo $\left[ 0,T\right] $ e dividiamolo
in n sottointervalli $\Delta t$.La lunghezza di ognuno di questi
sottointervalli sar\`{a} pari a $\dfrac{T}{N},$mentre il numero di
spostamenti complessivi della variabile casuale sar\`{a} uguale a $N=\dfrac{T%
}{\Delta t}.$

E la variazione cumulata sar\`{a} pari alla somma delle variazioni delle
variabili $x_{i}$ .

Quindi $Z_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}$ rappresenta una variabile casuale
binomiale con

$E\left( Z_{n}\right) $ $=n$ $E\left( x\right) =\dfrac{T}{\Delta t}\left(
p-q\right) h.$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 10\right) $

e \ 

$var\left( Z_{n}\right) =nvar\left( x\right) =\dfrac{T}{\Delta t}4pqh^{2}$ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 11\right) $

\bigskip Ora supponiamo che per $\Delta t\longrightarrow 0$ sia possibile
determinare un processo al limite che abbia media $\mu $ e varianza $\sigma
^{2},$cio\`{e} supponiamo che

\bigskip $E\left( Z_{n}\right) \longrightarrow \mu T$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 12\right) $

\bigskip $var\left( Z_{n}\right) \longrightarrow \sigma ^{2}T$ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 13\right) $

Affinch\`{e} si realizzi la convergenza in distribuzione \`{e} necessario
evitare che i momenti della distribuzione aumentino senza limite quando i
sottointervalli diventano via via piu' piccoli.Questo \`{e} possibile se
aggiustiamo i parametri del modello in modo tale da renderli compatibili con
il processo di convergenza.

L'ipotesi precedente significa che devono valere le seguenti equazioni

\bigskip

$\dfrac{T}{\Delta t}\left( p-q\right) h=\mu T$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 14\right) $

\bigskip $\dfrac{T}{\Delta t}4pqh^{2}=\sigma ^{2}T$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 15\right) $

\bigskip $p+q=1$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 16\right) $

Risolvendo la $\left( 14\right) ,$ la $\left( 15\right) $ e la $\left(
16\right) $ otteniamo

$h=\sigma \sqrt{\Delta t}$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p=\dfrac{%
1}{2}\left( 1+\dfrac{\mu \sqrt{t}}{\sigma }\right) $\ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{\mu \sqrt{t}}{%
\sigma }\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 17\right) $

Si ricordi che la funzione generatrice dei momenti di una bernoulliana \`{e}
definita da

\ $M\left( Z,\theta \right) =($\ $Ee^{-\theta Z\left( T\right) }pe^{-\theta
h}+qe^{\theta h})^{\frac{T}{\Delta t}}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 18\right) $

\bigskip Sostituendo la $\left( 17\right) $ \ \ \ \ \ nella $\left(
18\right) $ \ \ otteniamo

\bigskip $M\left( Z,\theta \right) =\left\{ \dfrac{1}{2}\left( e^{\theta
\sigma \sqrt{\Delta t}}+e^{-\theta \sigma \sqrt{\Delta t}}\right) +\dfrac{%
\mu \sqrt{t}}{2\sigma }\left( e^{\theta \sigma \sqrt{\Delta t}}+e^{-\theta
\sigma \sqrt{\Delta t}}\right) \right\} ^{\dfrac{T}{\Delta t}}$ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 19\right) $

\bigskip Ricordando che

$e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}..=\sum\limits_{n=0}^{\infty }%
\dfrac{x^{n}}{n!}$

avremo che

\bigskip $M\left( Z,\theta \right) =\left\{ 1+\left( \mu \theta +\dfrac{1}{2}%
\theta ^{2}\sigma ^{2}\right) \Delta t+o\left( \Delta t\right) \right\} $ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 20\right) $

dove $o\left( \Delta t\right) $ rappresenta quei termini della serie che
convergono a zero piu' rapidamente di $\Delta t.$

\bigskip Tenendo infine presente che

$\lim_{n\longrightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{b}{n}\right) ^{n}=e^{b}$

ne consegue che per $\Delta t\longrightarrow 0$

\bigskip $M\left( Z,\theta \right) =\left\{ 1+\left( \mu \theta +\dfrac{1}{2}%
\theta ^{2}\sigma ^{2}\right) \Delta t+o\left( \Delta t\right) \right\}
\rightarrow \exp \left[ \left( \mu \theta +\dfrac{1}{2}\theta ^{2}\sigma
^{2}\right) T\right] $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 21\right) $

La $\left( 21\right) $ rappresenta la funzione generatrice dei momenti di
una variabile casuale con distribuzione normale.Nel caso particolare di una
variabile normale standardizzata $N\left( 0,1\right) $ la $\left( 21\right) $
diventer\`{a}

\bigskip $M\left( Z,\theta \right) =\exp \left[ \left( \dfrac{1}{2}\theta
^{2}\right) T\right] $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ $\left( 22\right) $

Il processo al limite cosi' ottenuto \`{e} chiamato moto browniano standard
con le propriet\`{a} che abbiamo indicato in precedenza.

Il processo browniano standard non puo' essere utilizzato direttamente per
rappresentare i prezzi delle attivit\`{a} finanziarie.Tali prezzi infatti
non hanno un valore iniziale uguale a zero,hanno incrementi positivi e
varianza non necessariamente costante ed uguale a uno.

Scrivere l'equazione dinamica del prezzo di un'attivit\`{a} finanziaria
rischiosa come

$P_{1}=W\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 23\right) $

non avrebbe quindi senso.

E' possibile pero' utilizzare il processo di Wiener per costruire processi
stocastici che rappresentino in modo piu' realistico l'evoluzione dinamica
dei prezzi delle attivit\`{a} finanziarie.Il moto browniano aritmetico o
generalizzato \`{e} un primo passo in questa direzione.La sua funzione
generatrice dei momenti \`{e} rappresentata dalla $\left( 21\right) .$

Il moto browniano generalizzato \`{e} un processo stocastico il cui valore
iniziale puo' essere diverso da zero;i suoi incrementi inoltre possono
essere in media diversi da zero e cosi' pure le varianze possono essere
diverse da uno.Medie e varianze continuano ad essere costanti.

a.$W(0)$ \`{e} deterministico

b.$W$ \`{e} continuo rispetto a t

c.gli incrementi sono indipendenti

d.Se $0\leq s\leq t$ allora l'incremento $W\left( t\right) -W\left( s\right) 
$ \`{e} normalmente distribuito con media $\left( t-s\right) $ $\mu $ \ e
varianza $\left( t-s\right) \sigma ^{2}$

\bigskip Il prezzo di un'attivit\`{a} finanziaria rischiosa potrebbe allora
essere descritto come

$P_{1}\left( t\right) =\mu t$ $+\sigma W\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 24\right) $

che puo ' essere riscritto in forma differenziale come

$dP_{1}\left( t\right) =\mu dt$ $+\sigma dW\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 25\right) $

La $\left( 25\right) $ \`{e} nota come equazione differenziale stocastica e
la $\left( 24\right) $ \`{e} la sua soluzione.

Se assumiamo la $\left( 24\right) $ come descrizione dinamica del prezzo di
un'attivit\`{a} finanziaria sappiamo dalla propriet\`{a} c) del moto
browniano artimetico che i suoi incrementi avranno una distribuzione normale
con dominio compreso tra $-\infty $ e $+\infty .$Ma i prezzi delle attivit%
\`{a} finanziarie non possono essere negativi.Possiamo superare questa
obiezione introducendo il moto geometrico browniano.

Il moto geoemtrico browniano \`{e} definito come $\exp ^{W}$ dove $W$ \`{e}
un moto browniano generalizzato con valore iniziale deterministico $W(0).$

\bigskip Il prezzo dell'azione puo' allora essere descritto dal seguente
modello

$P_{1}\left( t\right) =P_{1}\left( 0\right) \exp \left\{ \sigma W\left(
t\right) +(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^{2})t\right\} $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 26\right) $

e in forma differenziale come

$dP_{1}\left( t\right) =\mu P_{1}\left( t\right) dt+\sigma P_{1}dW\left(
t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ $\left( 27\right) $

La distribuzione di $P_{1}\left( t\right) $ \`{e} detta distribuzione
lognormale.

Si ricordi che se $Y\backsim N\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) ,$allora una
variabile casuale $X=e^{Y}$ \ ha una distribuzione lognormale cosi' definita
perch\`{e} il suo logaritmo $Y=\ln (X)$ ha una distribuzione normale.La sua
media e la sua varianza sono definiti come

$E\left( X\right) =\exp \left( \mu +\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}\right) $

$var\left( X\right) =\exp \left[ 2\left( \mu +\sigma ^{2}\right) \right]
-\exp \left( 2\mu +\sigma ^{2}\right) $

Si osservi che possiamo riscrivere la $\left( 26\right) $ come

\bigskip $\ln P_{1}\left( t\right) =\ln P_{1}\left( 0\right) +(\mu -\frac{1}{%
2}\sigma ^{2})t+\sigma W\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ \
\ \ \ \ \left( 28\right) $

\bigskip La $\left( 28\right) $ \`{e} un moto aritmetico browniano.La
distribuzione di $\ln P_{1}\left( t\right) $ \`{e} normale con media $\ln
P_{1}\left( 0\right) +(\mu -\dfrac{1}{2}\sigma ^{2})t$ $\ $e varianza \ $%
\sigma ^{2}t.$

Si noti come il drift del moto geometrico contenga un termine aggiuntivo
rispetto alla $\left( 24\right) $ rappresentato da $-\dfrac{1}{2}\sigma
^{2}t.$

Questo aggiustamento si puo ' spiegare calcolando il valore atteso al tempo
t dello stock al tempo t+$\Delta t$ e tenendo conto dell'ipotesi di
lognormalit\`{a} della sua distribuzione.Infatti

\bigskip $P_{1}\left( t+\Delta t\right) =P_{1}\left( t\right) \exp \left\{
(\mu -\frac{1}{2}\sigma ^{2})\Delta t+\sigma \left( W\left( t+\Delta
t\right) -W\left( t\right) \right) \right\} $

e quindi calcolando il valore atteso

$E\left[ P_{1}\left( t+\Delta t\right) \right] =E\left\{ P_{1}\left(
t\right) \exp \left\{ (\mu -\frac{1}{2}\sigma ^{2})\Delta t+\sigma \left(
W\left( t+\Delta t\right) -W\left( t\right) \right) \right\} \right\} $

\bigskip da cui

$E\left[ P_{1}\left( t+\Delta t\right) \right] =P_{1}\left( t\right)
E\left\{ \exp \left\{ (\mu -\frac{1}{2}\sigma ^{2})\Delta t+\sigma \left(
W\left( t+\Delta t\right) -W\left( t\right) \right) \right\} \right\} $

ma $\ $applicando la formula della media di una distribuzione lognormale

$E\left\{ \exp \left\{ (\mu -\frac{1}{2}\sigma ^{2})\Delta t+\sigma \left(
W\left( t+\Delta t\right) -W\left( t\right) \right) +\right\} \right\} =\exp %
\left[ (\mu -\frac{1}{2}\sigma ^{2})\Delta t\right] +\frac{1}{2}\sigma
^{2}\Delta t=e^{\mu \Delta t}$

\bigskip $E\left[ P_{1}\left( t+\Delta t\right) \right] =P_{1}\left(
t\right) e^{\mu \Delta t}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 29\right) $

Il prezzo atteso dello stock cresce quindi in modo esponenziale al tasso $%
\mu $ e il termine aggiuntivo rispetto alla $\left( 24\right) $ del moto
geometrico browniano all'esponente della $\left( 26\right) $ serve a
compensare il termine che compare nella formula per il valore atteso di una
variabile lognormale.

\bigskip

4.LA DINAMICA\ DELLA RICCHEZZA E\ DEL\ PORTAFOGLIO.

\bigskip

Possiamo riassumere la precedente discussione identificando gli elementi che
compongono un mercato finaziario

a.uno spazio di probabilitt\`{a} $\left( \Omega ,\digamma ,P\right) $

b.una costante T che identifica il periodo terminale

c.un moto browniano $\left\{ W(t),F(t),0<t<T\right\} $ definito sullo spazio
di probabilit\`{a} $\left( \Omega ,\widetilde{\digamma },P\right) $ dove $%
\widetilde{\digamma }$ \ (t) rappresenta la filtrazione $F^{W}\left(
t\right) $ generata dal moto browniano aumentata degli insiemi nulli in $%
F^{W}\left( t\right) .$

d..un vettore a due dimensioni che rappresenta i valori iniziali delle due
attivit\`{a} finanziarie

e.tre processi adattati che definiscono la dinamica libera da rischio del
tasso di interesse, la dinamica del tasso di rendimento medio dello stock e
lo scalare $\sigma ,$ la volatilit\`{a} della dinamica dello stock.

Supponiamo che la dinamica dei prezzi delle due attivit\`{a} finanziarie sia
rappresentata rispettivamente dallle equazioni $\left( 1\right) $ e $\left(
2\right) ,\left( 26\right) $ e $\left( 27\right) .$La dinamica del prezzo
dell'azione implica che tale azione non distribuisce dividendi.

Caratterizziano ora l'evoluzione dinamica del valore di un ipotetico
portafoglio che si autofinanzia. Tale portafoglio che non puo' essere
finanziato da redditi aggiuntivi esogenamente dati ,ma la sua composizione
puo' variare solo vendendo attivit\`{a} finanziarie che si trovano nel
portafoglio stesso.

Analizziamo dapprima un modello in tempo discreto;consideriamo un intervallo
compreso tra un periodo iniziale che indichiamo con 0 e un periodo finale
T;suddividiamo questo intervallo in n periodi e indichiamo con h ognuno di
questi intervalli.

Definiamo con $\theta _{0}$ e $\theta _{1}$ il numero di obbligazioni e di
stock tenuti in portafoglio da un investitore,con \ $P_{0}$ e $P_{1}$ il
prezzo delle due attivit\`{a} e con $V$ il valore di un portafoglio.

Nel periodo iniziale 0 un investitore possiede un portafoglio $\theta
_{0}\left( 0-h\right) $ e $\theta _{1}\left( 0-h\right) $ e il valore del
suo portafoglio \`{e} pari a

$V\left( 0\right) =\sum\limits_{i=0}^{1}\theta _{i}\left( 0-h\right)
P_{i}\left( 0\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 30\right) $

dove i prezzi si riferiscono al periodo corrente e regolano le transazioni
correnti.

L'investitore osserva i prezzi delle due attivit\`{a} finanziarie e decide
la composizione del suo nuovo portafoglio $\theta _{0}\left( 0\right) $ e $%
\theta _{1}\left( 0\right) $ per il periodo 0 che deve essere acquistato ai
prezzi correnti.Dal momento che il portafoglio si autofinanzia il valore del
nuovo portafoglio dovr\`{a} essere uguale al valore del vecchio
portafoglio.Ovvero

$V\left( 0\right) =\sum\limits_{i=0}^{1}\theta _{i}\left( 0-h\right)
P_{i}\left( 0\right) =\sum\limits_{i=0}^{1}\theta _{i}\left( 0\right)
P_{i}\left( 0\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 31\right) $

Nel periodo successivo 0+h si ripeter\`{a} la stessa sequenza.Nel passaggio
da un periodo al successivo il portafoglio sperimenter\`{a} una variazione
di valore un processo di guadagni e di perdite legato alla fluttuazione dei
prezzi e alle variazioni nella composizione del portafoglio.Se il
portafoglio restasse costante allora il suo valore nel corso del tempo
sarebbe influenzato semplicemente dalla variazione nel prezzo delle attivit%
\`{a} finanziarie.

I guadagni o l perdite al tempo saranno allora indicati come

$G\left( t\right) =\sum\limits_{s=1}^{t}\theta _{0}\left( s\right)
\bigtriangleup P_{0}\left( s\right) +\sum\limits_{s=1}^{t}\theta _{1}\left(
s\right) \bigtriangleup P_{1}\left( s\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 32\right) $

dove $\bigtriangleup P\left( s\right) =P\left( t+1\right) -P\left( t\right) $
rappresenta la variazione del prezzo delle attivit\`{a} finanziarie da un
periodo al successivo.

Se aumentiamo all'infinito il numero di momenti in cui \`{e} consentito
modificare la composizione del portafoglio si ottiene la convergenza della
somma definita dalla $\left( 32\right) $ \ all'integrale stocastico

\bigskip $G\left( t\right) =\dint\limits_{0}^{t}\theta
_{s}dP_{s}=\dint\limits_{0}^{t}\theta _{s}\mu
_{s}ds+\dint\limits_{0}^{t}\theta _{s}\sigma _{s}dW_{s}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 33\right) $

La ricchezza al tempo t sar\`{a} allora pari a

$V\left( t\right) =V\left( 0\right) +G\left( t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 34\right) $

\bigskip Definiamo poi con

$\pi \left( t\right) =\dfrac{\theta _{1}\left( t\right) P_{1}\left( t\right) 
}{V\left( t\right) }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 35\right) $

\bigskip la proporzione di ricchezza investita nello stock al tempo
t.Possiamo allora esprimere la $\left( 34\right) $ come

$V\left( t\right) =V\left( 0\right) +\dint\limits_{0}^{t}\left( V_{s}\pi
\lambda +rV_{s}\right) dt+\dint\limits_{0}^{t}V_{s}\pi dW$ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 36\right) $

\bigskip dove $\lambda =\mu -r$ rappresenta il tasso di rendimento atteso
dello stock in eccesso rispetto al tasso di interesse sull'obbligazione
priva di rischio.Dalla $\left( 36\right) $ otteniamo infine l'equazione
della ricchezza definita da

$\bigskip $

$dV\left( t\right) =\left[ V\left( t\right) \left( \pi \lambda +r\right) %
\right] dt+V\left( t\right) \pi \sigma dW_{t}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 37\right) $

$\bigskip V\left( 0\right) =V_{0}.$

La $\left( 37\right) $ descrive l'evoluzione dinamica della ricchezza in un
mercato finanziario caratterizzato dalla presenza di un'attivit\`{a} senza
rischio e di un'attivit\`{a} rischiosa, dato un certo livello di ricchezza
iniziale.Si ricordi che tale evoluzione si riferisce ad un mercato in cui
non sono distribuiti dividendi e ad una strategia di investimento che
esclude un incremento o diminuzione di valore dovuta ad elementi esogeni.

LA\ SCELTA DEL PORTAFOGLIO OTTIMALE VIA CONTROLLO STOCASTICO

Si consideri ora un piccolo investitore che non puo' interferire con la
dinamica del mercato;\`{e} un price-taker rispetto ai prezzi delle attivit%
\`{a} finanziarie.Dispone di una certa ricchezza iniziale e si propone di
massimizzare la sua utilit\`{a};deve quindi decidere quanto consumare, come
distribuire il consumo e il risparmio nel corso del tempo,e la composizione
del suo portafoglio,cio\`{e} la combinazione delle due attivit\`{a} che gli
consente la massimizzazione dell'utilit\`{a}.

Il problema della scelta ottimale di portafoglio puo' allora essere
formalizzato come un problema di ottimizzazione dinamica vincolata.
Supponiamo che l'orizzonte temporale sia finito :l'intervallo $\left[ 0,T%
\right] $

L'investitore deve massimizzare la sua funzione utilit\`{a} obiettivo

$\sup U\left( c\right) =E_{0}\int\limits_{0}^{T}e^{-\rho t}u_{1}\left(
c_{t}\right) dt$ $+u_{2}\left[ V\left( T\right) \right] $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
38\right) $

dove $u_{1}\left( c\right) $ rappresenta la funzione di utilit\`{a}
istantanea additiva separabile e $\rho $ il tasso di sconto e $u_{2}$ la
funzione di utilit\`{a} del periodo finale. L'investitore \`{e} inoltre
soggetto al vincolo di bilancio intertemporale rappresentato da

\bigskip $dV\left( t\right) =\left[ V\left( t\right) \left( \pi \lambda
+r\right) -c_{t}\right] dt+V\left( t\right) \pi \sigma dW_{t}$ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 39\right) $

$V\left( 0\right) =V.$

Gli strumenti ovvero i controlli che l'investitore ha a sua disiposizione
sono rappresentati dal consumo $c_{t}$ e dalla quota di ricchezza investita
nell'attivit\`{a} rischiosa $\pi .$

Possiamo scrivere la funzione valore come

$J(V_{t},t)=\sup E_{t}$\ $\left[ \int\limits_{t}^{T}e^{-\rho t}u_{1}\left(
c_{t}\right) dt+u_{2}\left[ V\left( T\right) \right] \right] $ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 40\right) $

dove J \`{e} il massimo di utilit\`{a} possibile se la funzione obiettivo
viene calcolata partendo dall'istante t data una certa ricchezza iniziale $%
V. $

Per arrivare ad una soluzione del problema approssimiamo inizialmente il
nostro modello attraverso una descrizione in tempo discreto.

Se il periodo 0-T \`{e} diviso in N sottoperiodi la cui ampiezza \`{e} pari
ad $\Delta T$,possiamo scrivere la dinamica dei prezzi dell'attivit\`{a}
rischiosa in tempo discreto come

\bigskip $\ln \dfrac{P_{1}\left( t\right) }{P_{1}\left( 0\right) }=(\mu -%
\frac{1}{2}\sigma ^{2})\Delta t+\sigma Z\sqrt{\Delta t}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 41\right) $

dove $Z_{t}$ \`{e} uno shock stocastico con media zero e varianza uno,mentre 
$\sigma _{t}$ determina l'influenza di tale shock sui rendimenti delle
attivit\`{a} finanziarie.

La dinamica intertemporale del vincolo di bilancio sar\`{a} allora definita
da

$V_{t+\Delta t}-V_{t}=\left[ V_{t}\left( \pi \lambda +r\right) -c_{t}\right]
\Delta t+V_{t}\pi \sigma _{t}Z_{t}\sqrt{\Delta t}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 41a\right) $

La $\left( 26\right) $ e la $\left( 37\right) $ rappresenatno i limiti della 
$\left( 41\right) $ e della $\left( 41a\right) $ quando l'intervallo $\Delta
t\rightarrow 0.$

Riscriviamo poi la funzione obiettivo $\left( 38\right) $ come

$U\left( c_{0},c_{1}.......c_{T},V\left( T\right) \right) =E_{0}$ \ $\left[
\sum\limits_{k=0}^{N-1}e^{-\rho t}u\left( c_{k}\right) \Delta t+e^{-\rho
T}u_{2}\left( V\left( T\right) \right) \right] $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ $\left( 42\right) $

per $k=0,1,2....N-1$

L'investitore sceglie una combinazione di portafoglio al tempo $k$ $\Delta t$
che tiene fino all'istante $\left( k+1\right) \Delta t.$Nello stesso periodo
il consumo totale \`{e} pari a $c_{k}\Delta t$ che viene sottratto alla
ricchezza disponibile all'inizo del periodo.

\bigskip Per derivare le equazioni di ottimalit\`{a}, scriviamo la funzione
valore applicando il principio della programmazione dinamica

\bigskip $J(V_{0})=\sup E_{0}$ \ $\left[ \sum\limits_{k=0}^{N-1}e^{-\rho
k\Delta t}u\left( c_{k}\right) \Delta t+e^{-\rho T}u\left( V\left( T\right)
\right) \right] $

$=\sup E_{0}$ \ $\left[ u\left( c_{0}\right) \Delta
t+\sum\limits_{k=1}^{N-1}e^{-\rho k\Delta t}u\left( c_{k}\right) \Delta
t+e^{-\rho T}u\left( V\left( T\right) \right) \right] $

\bigskip

$=\sup E_{0}\left[ u\left( c_{0}\right) \Delta t+E_{1}\left[
\sum\limits_{k=1}^{N-1}e^{-\rho k\Delta t}u\left( c_{k}\right) \Delta
t+e^{-\rho T}u\left( V\left( T\right) \right) \right] \right] $

\bigskip

$=\sup E_{0}\left[ u\left( c_{0}\right) \Delta t+e^{-\rho \Delta t}\sup E_{1}%
\left[ \sum\limits_{k=1}^{N-1}e^{-\rho (k+1)\Delta t}u\left( c_{k}\right)
\Delta t+e^{-\rho T}u\left( V\left( T\right) \right) \right] \right] $ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 43\right) $

Notando che $\sup E_{1}\left[ \sum\limits_{k=1}^{N-1}e^{-\rho k\Delta
t}u\left( c_{k}\right) \Delta t+e^{-\rho T}u\left( V\left( T\right) \right) %
\right] $ \ \`{e} semplicemente la funzione valore al tempo 1 possiamo
riscrivere la funzione valore al tempo 0 come

$J(V_{0},0)=\sup E_{0}\left[ u\left( c_{0}\right) \Delta t+e^{-\rho \Delta
t}J(V_{1},1)\right] $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 44\right) $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 

Si ricordi che abbiamo definito con $J\left( V_{t},t\right) $ la funzione
valore in tempo continuo nella $\left( 40\right) $. L'approssimazione di
tale funzione in tempo discreto in qualsiasi istante t sar\`{a} definita da

$J(V_{t},t)=\sup E_{t}\left[ u\left( c_{t}\right) \Delta t+e^{-\rho \Delta
t}J(V_{t+\Delta t},t+\Delta t)\right] $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ $\left( 45\right) $

La $\left( 45\right) $ \`{e} conosciuta come equazione di Bellmann;consente
di semplificare il processo decisionale prendendo in considerazione solo il
periodo corrente e tutti i periodi futuri aggregati dalla funzione
valore.Scegliamo in modo ottimale consumo e portafoglio per il periodo
corrente dando per scontato che la nostra scelta per il periodo futuro sar%
\`{a} presa in modo ottimale.

Se nella $\left( 45\right) $ moltiplichiamo entrambi i membri per $e^{\rho
\Delta t},$sottraiamo $J(V_{t},t)$ e dividiamo per $\Delta t$ \ otteniamo

$\dfrac{e^{\rho \Delta t}-1}{\Delta t}J(V_{t},t)=\sup E_{t_{s}}\left[
e^{\rho \Delta t}u\left( c_{0}\right) +\dfrac{1}{\Delta t}E_{k}\left[
J(V_{t+\Delta t_{t}},t+\Delta t)-J(V,t)\right] )\right] $ \ \ \ \ \ \ $\ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 46\right) $

\bigskip

Supponendo che $\Delta t\rightarrow 0$ avremo

$E_{t}\dfrac{1}{\Delta t}\left[ J(V_{t+\Delta t_{t}},t+\Delta t)-J(V_{t},t)%
\right] \rightarrow $\ $dJ$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ $\left( 47\right) $

\bigskip e che

$\dfrac{e^{\rho \Delta t}-1}{\Delta t}\rightarrow \rho $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 48\right) $

\bigskip cosicch\`{e} possiamo riscrivere il limite della $\left( 46\right) $
come

$\rho J(V_{t},t)=\sup \left\{ u(c)+dJ\right\} $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
49\right) $

Calcolare il differenziale della funzione valore indicato nella $\left(
47\right) $ solleva un problema perch\`{e} non possiamo applicare
direttamente il principio della derivazione a catena che incontriamo nel
calcolo ordinario.Dobbiamo quindi introdurre alcuni strumenti di derivazione
applicabili in ambiente stocastico.In particolare dobbiamo introdurre una
versione stocastica della differenziazione totale.

IL\ LEMMA\ DI\ ITO

Si consideri una funzione $F\left( X,t\right) $ infinitamente
differenziabile.Il differenziale totale di tale funzione si puo' esprimere
utilizzando un'espansione di Taylor come

\bigskip

$dF=\dfrac{\partial F}{\partial X}dX+\dfrac{\partial F}{\partial t}dt+\dfrac{%
1}{2}\dfrac{\partial ^{2}F}{\partial X}dX^{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial
^{2}F}{\partial t}dt^{2}+\dfrac{\partial ^{2}F}{\partial X\partial t}%
dXdt......$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
50\right) $

\bigskip

Solitamente i termini di ordine superiore si azzerano passando al limite;
quindi il differenziale $\left( 50\right) $ diventa

\bigskip

$dF=\dfrac{\partial F}{\partial X}dX+\dfrac{\partial F}{\partial t}dt$ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 51\right) $

Possiamo chiederci se la stessa procedura puo' essere utlizzata quando X
rappresenta un processo stocastico.Supponiamo che X sia un processo definito
da

$dX=\mu \left( X,t\right) dt+\sigma \left( X,t\right) dW_{t}$ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 52\right) $

\bigskip

Mentre il termine $dt^{2}$ ha valore zero nell'espansione di Taylor perch%
\`{e} il tempo \`{e} deterministico la stessa cosa non puo' dirsi del termine

$dX^{2}.$ Sostituiamo la $\left( 52\right) $ nella $\left( 50\right) $ per
calcolare $dX^{2}:$

$dX^{2}=\mu ^{2}\left( X,t\right) dt^{2}+\sigma ^{2}\left( X,t\right)
dt+2\mu \left( X,t\right) \sigma \left( X,t\right) dt^{3/2}$\ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ $\left( 53\right) $

\bigskip

Nella $\left( 53\right) $ possiamo trascurare i termini con potenza
superiore a 1 e quindi avere che

\bigskip $dX^{2}=\sigma ^{2}\left( X,t\right) dt$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 54\right) $

\bigskip che sostituiamo nell'espansione originaria cosi' da ottenere

\bigskip $dF=\dfrac{\partial F}{\partial X}dX+\dfrac{\partial F}{\partial t}%
dt+\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ^{2}F}{\partial X}\sigma ^{2}\left(
X,t\right) dt$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\left( 55\right) $

La formula di Ito definita dalla $\left( 55\right) $ estende ad un contesto
stocastico la regola della derivazione a catena e ci consente di definire il
differenziale stocastico.Possiamo utilizzarla per risolvere il problema del
portafoglio ottimale.

LA SOLUZIONE\ DEL PROBLEMA DEL PORTAFOGLIO OTTIMALE.

Applichiamo il lemma di Ito alla $\left( 47\right) $ tenendo conto della $%
\left( 41a\right) $.Otteniamo

\bigskip $dJ=J_{t}\left( V,t\right) +J_{V}\left( V,t\right) \left[ V\pi
_{t}\lambda +Vr-c_{t}\right] +\dfrac{1}{2}J_{VV}\left( V,t\right) V^{2}\pi
_{t}\sigma \sigma \pi _{t}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 56\right) $

Utilizzando la $\left( 56\right) $ nella $\left( 49\right) $avremo infine
che il limite della $\left( 45\right) $ \`{e} definito da

$\rho J(V,t)=\sup \left\{ u(c)+J_{t}\left( V,t\right) +J_{V}\left(
V,t\right) \left[ V\pi _{t}\lambda +Vr-c_{t}\right] +\dfrac{1}{2}%
J_{VV}\left( V,t\right) V^{2}\pi _{t}\sigma \sigma \pi _{t}\right\} $ $\ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 57\right) $

La $\left( 57\right) $ \`{e} una equazione alle differenze parziali di
second'ordine \ nota come equazione di Hamilton-Jacobi-Bellmann.

Ricordiamo che le nostre variabili di controllo sono c e $\pi .$

Supponiamo che la funzione valore sia due volte differenziabile,strettamente
concava e crescente e deriviamo la $\left( 57\right) $ rispetto a $c$ e $\pi 
$ e otteniamo la condizione di prim'ordine definite rispettivamente da

$u^{\prime }(c)=J_{V}\left( V,t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 58\right) $

e da

$J_{V}\left( V,t\right) V\lambda +J_{VV}\left( V,t\right) V^{2}\sigma \sigma
\pi =0$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 59\right) $

La $\left( 58\right) $ rappresenta la condizione di inviluppo,mentre la $%
\left( 59\right) $ rappresenta un'equazione lineare che consente di
deterrminare la quota di portafoglio dell'attivit\`{a} rischiosa.

Se definiamo con con $I_{u}$ la funzione inversa di $u^{\prime }(c)$ avremo
dalla $\left( 58\right) $ che

$c^{\ast }=I_{u}J_{V}\left( V,t\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 60\right) $

\bigskip Dalla $\left( 59\right) $ avremo invece che

$\pi =-\sigma ^{-1}\theta \dfrac{J_{V}\left( V,t\right) }{VJ_{VV}\left(
V,t\right) }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ $\left( 61\right) $

dove $\theta =\dfrac{\lambda }{\sigma }=\dfrac{\mu -r}{\sigma }$ rappresenta
il premio per il rischio,definito come il rendimento dell'attivit\`{a}
rischiosa rispetto all'attivit\`{a} priva di rischio normalizzato rispetto
alla variabilit\`{a} dell'attivit\`{a} rischiosa ;$\theta $ \`{e} noto anche
come Sharpe ratio.

Si noti che il peso del portafoglio ottimale \`{e} dato da uno scalare $%
-\sigma ^{-1}\theta $ che moltiplica il reciproco dell'avversione relativa
al rischio della funzione valore nella definizione di Arrow-Pratt.

Le precedenti condizioni di equilibrio definscono il consumo ottimale e la
quota di attivit\`{a} rischiosa in portafoglio che massimizzano l'utilit\`{a}
intertemporale dell'investitore.Entrambe dipendono pero' dalla funzione
valore che non conosciamo.

Dobbiamo quindi risolvere un sistema formato dalla $\left( 57\right) ,$dalla 
$\left( 60\right) $ e dalla $\left( 61\right) .$

Sostituiamo i valori ottimali del consumo e del portafoglio dati dalla $%
\left( 60\right) $ e dalla $\left( 61\right) $ nella $\left( 57\right) $ e
otteniamo

\bigskip $\delta J(V,t)=u\left( I_{u}J_{V}\left( V,t\right) \right)
+J_{t}\left( V,t\right) -J_{V}\left( V,t\right) I_{u}J_{V}\left( V,t\right)
++rJ_{V}\left( V,t\right) V-\dfrac{1}{2}\Vert \theta \Vert ^{2}\dfrac{%
J_{V}\left( V,t\right) }{J_{VV}\left( V,t\right) }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ $\left( 62\right) $

La funzione valore che compare come incognita nell'equazione funzionale di
Bellmann \`{e} influenzata dalla forma della funzione obiettivo e a sua
volta determina la composizione di portafoglio e il consumo ottimale.Non
esistono regole per determinare la funzione valore  ma generalmente si
procede per tentativi ed errori formulando un'ipotesi sulla forma della
funzione valore,verificando successivamente la coerenza
dell'ipotesi.Solitamente si ipotizza che la funzione valore abbia la stessa
forma della funzione di utilit\`{a}.

Consideriamo un investitore la cui funzione di utilit\`{a} sia di tipo
isoleastico e la cui utilit\`{a} dipenda sia dal consumo intermedio che dal
consumo dell'ultimo periodo.Avremo

$u\left( c\right) =\dfrac{c^{1-\gamma }}{1-\gamma }$ e $u\left( V_{T}\right)
=\dfrac{V_{T}^{1-\gamma }}{1-\gamma }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 63\right) $

con $u^{\prime }(c)=c^{-\gamma }$, la cui funzione inversa puo' essere
scritta come

$I\left( h\right) =h^{-\dfrac{1}{\gamma }}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ 

Quindi

$u(I\left( h\right) )=\dfrac{I\left( h\right) ^{1-\gamma }}{1-\gamma }=%
\dfrac{h^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}}{1-\gamma }$

e

$u(I\left( h\right) )-hu(I\left( h\right) )=\dfrac{h^{\frac{\gamma -1}{%
\gamma }}}{1-\gamma }-h^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}=\dfrac{\gamma }{1-\gamma 
}h^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$

cosicch\`{e} il primo e terzo termine della $\left( 62\right) $ sono uguali
a $\dfrac{\gamma }{1-\gamma }J_{V}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}.$

Otteniamo quindi

\bigskip $\delta J(V,t)=\dfrac{\gamma }{1-\gamma }J_{V}\left( V,t\right) ^{%
\frac{\gamma -1}{\gamma }}+J_{t}\left( V,t\right) +rVJ_{V}\left( V,t\right) -%
\dfrac{1}{2}\Vert \theta \Vert ^{2}\dfrac{J_{V}\left( V,t\right) }{%
J_{VV}\left( V,t\right) }$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 64\right) $

Si ricordi che $\theta $ rappresenta il premio per il rischio normalizzato.

Dato che la dinamica della ricchezza illustrata dalla $\left( 37\right) $ 
\`{e} di tipo lineare possiamo ipotizzare che il consumo ottimale sia
funzione omogenea della ricchezza stessa.Se moltiplichiamo la ricchezza per
una costante $\alpha $ anche il consumo ottimale sar\`{a} moltiplicato per $%
\alpha $. La funzione valore del problema del portafoglio ottimale con utilit%
\`{a} CRRA \`{e} definita da

\bigskip $J(V,t)=\sup E_{t}$\ $\left[ \int\limits_{t}^{T}\dfrac{%
c_{s}^{1-\gamma }}{1-\gamma }ds+e^{-\rho \left( T-t\right) }\dfrac{%
V_{T}^{1-\gamma }}{1-\gamma }\right] $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ \ \ \
\ \ \ \ \left( 65\right) $

Se moltiplichiamo per $\alpha $ la ricchezza riscriviamo la $\left(
65\right) $ come

\bigskip $J(\alpha V,t)=\sup E_{t}$\ $\left[ \int\limits_{t}^{T}e^{-\rho
\left( s-t\right) }\dfrac{(\alpha c_{s}^{\ast })^{1-\gamma }}{1-\gamma }%
ds+e^{-\rho \left( T-t\right) }\dfrac{\left( \alpha V_{T}^{\ast }\right)
^{1-\gamma }}{1-\gamma }\right] $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 66\right) $

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\alpha ^{1-\gamma }E_{t}$\ $\left[
\int\limits_{t}^{T}e^{-\rho \left( s-t\right) }\dfrac{(c_{s}^{\ast
})^{1-\gamma }}{1-\gamma }ds+e^{-\rho \left( T-t\right) }\dfrac{\left(
V_{T}^{\ast }\right) ^{1-\gamma }}{1-\gamma }\right] $

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=\alpha ^{1-\gamma }J(V,t)$

\bigskip Se poniamo $\alpha =\dfrac{1}{V}$ avremo

$J(V,t)=\dfrac{\left( 1-\gamma \right) J\left( 1,t\right) V^{1-\gamma }}{%
1-\gamma }=\dfrac{f\left( t\right) ^{\gamma }V^{1-\gamma }}{1-\gamma }$ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 67\right) $

dove $f(t)^{\gamma }=\left( 1-\gamma \right) J\left( 1,t\right) .$

\bigskip Utilizziamo la $\left( 67)\right) $ per calcolare le derivate che
compaiono nella $\left( 64\right) .$Avremo

$J_{t}=\dfrac{\gamma }{1-\gamma }f(t)^{\gamma -1}f^{\prime }(t)V^{1-\gamma }$

$J_{V}\left( V,t\right) =f\left( t\right) ^{\gamma }V^{1-\gamma }$

$J_{VV}\left( V,t\right) =-\gamma f(t)^{\gamma }V^{-\gamma -1}$

\bigskip

Sostituendo nella $\left( 64\right) $ tali espressioni otteniamo

$\left\{ \left( \dfrac{\rho }{1-\gamma }-r-\frac{1}{2}\gamma \parallel
\theta \parallel ^{2}\right) f\left( t\right) -\dfrac{\gamma }{1-\gamma }-%
\dfrac{\gamma }{1-\gamma }f^{\prime }\left( t\right) \right\} f\left(
t\right) ^{\gamma -1}V^{1-\gamma }=0$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 68\right) $

Se la funzione $f$ \ soddisfa l'equazione differenziale ordinaria

$f^{\prime }\left( t\right) =\dfrac{1}{\gamma }\left( \rho -r\left( 1-\gamma
\right) -\dfrac{1-\gamma }{2\gamma }\parallel \theta \parallel ^{2}\right)
f\left( t\right) -1$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 69\right) $

con $f\left( T\right) =1$

allora la\ $\left( 67\right) $ \`{e} una soluzione dell'equazione funzionale 
$\left( 64\right) .$

Si puo' dimostrare che la soluzione della $\left( 69\right) $ \`{e} data da

$f(t)=\dfrac{1}{A}\left( 1+\left( A-1\right) e^{-A\left( T-t\right) }\right) 
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 70\right) $

dove

$A=\dfrac{\rho -r(1-\gamma )}{\gamma }-\dfrac{1}{2}\dfrac{1-\gamma }{\gamma
^{2}}\parallel \theta \parallel ^{2}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 71\right) $

\bigskip 

Dalla $\left( 60\right) $ e dalla $\left( 61\right) $ utilizzando le
derivate della $\left( 67\right) $ otteniamo il portafoglio ottimale

e il consumo ottimale definiti rispettivamente da

$\pi =\dfrac{J_{V}\left( V,t\right) }{J_{VV}\left( V,t\right) }=-\sigma
^{-1}\theta \dfrac{1}{\gamma }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 72\right) $

\bigskip e

$c=\dfrac{1}{f(t)}V=A\left( \left( 1+\left( A-1\right) e^{-A\left(
T-t\right) }\right) \right) ^{-1}V$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ $\left( 73\right) $

\bigskip

\bigskip

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\end{document}
