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\begin{document}


LA\ TEORIA\ DELL'INVESTIMENTO IRREVERSIBILE.

\bigskip

Secondo la teoria tradizionale quando un'impresa deve decidere un
investimento applica il principio del valore netto attualizzato.Un
imprenditore dovrebbe calcolare il valore attuale dei suoi ricavi futuri e
il valore attuale delle sue spese future legate all'investimento.Se la
differenza tra i due termini \`{e} positiva investe .In caso contrario
rinuncia all'investimento.

Tale descrizione del processo decisionale presuppone tacitamente l'ipotesi
che l'investimento sia parzialmente o completamente reversibile e sia quindi
possibile recuperare in tutto in parte il valore dell'investimento se le
cose dovessero andare in modo diverso rispetto a quanto anticipato;in
secondo luogo anche nell'ipotesi di completa irreversibilit\`{a} si suppone
implicitamente che l'investimento sia una decisione da prendere nel periodo
corrente e che non sia ammissibile realizzarla in un periodo successivo.

La maggior parte degli investimenti contrariamente a quanto ipotizzato sono
caratterizzati da altri elementi. In particolare \`{e} difficile recuperare
in tutto o in parte la somma investita se il mercato decreta il fallmento di
tale investimento; e in secondo luogo la possibilit\`{a} di dilazionare la
spesa per un investimento irreversibile indebolisce la regola del valore
netto attualizzato.

Queste osservazioni hanno contribuito a introdurre nell'analisi
dell'investimento un nuovo quadro di riferimento centrato sulla nozione di
opportunit\`{a} di investimento.Ogni impresa che intende aumentare la sua
capacit\`{a} produttiva dispone di una opportunit\`{a} di investimento
simile a quella che ritroviamo sui mercati finanziari quando parliamo di
opzioni.L'impresa quando ha una opportunit\`{a} di investimento si ritrova
in una situazione simile ad un investitore che \`{e} in possesso di una
opzione call, cio\`{e} il diritto ma non l'obbligo di acquistare ad un
prezzo prefissato un'attivit\`{a} finanziaria il cui payoff \`{e}
incerto.Questa caratteristica coglie un importante aspetto dinamico
dell'investimento e della possibilit\`{a} per l'impresa di esercitarlo
quando lo ritiene opportuno, non necessariamente nel periodo
corrente.L'impresa puo' comprare ora oppure in un periodo futuro assets
reali il cui payoff \`{e} incerto.L'investimento \`{e} quindi una decisione
ottimale nel momento in cui tale strategia si realizza.Se il payoff \`{e}
incerto, dilazionare l'investimento puo' essere un modo per acquisire
informazioni aggiuntive sull'andamento del mercato.Sfruttare al meglio una
opportunit\`{a} di investimento significa esercitare in modo ottimale e nel
momento appropriato l'equivalente di una opzione call di tipo Americano.A
differenza dell'opzione call di tipo Europeo tale opzione puo' essere
esercitata in qualsiasi momento e non alla scadenza. Questo tipo di
osservazione ha condotto ad una ridefinizione dell'analisi dei modelli che
cercano di spiegare l'investimento ottimale da parte delle imprese.In
condizioni di equilibrio; l'impresa decider\`{a} di aumentare la sua capacit%
\`{a} produttiva soltanto se il guadagno derivante dall'investimento
marginale sar\`{a} compensato da un aumento dei guadagni futuri in grado di
coprire il costo aggiuntivo.Il costo pero' comprender\`{a} non solo il costo
dell'investimento in senso proprio e i connessi costi di aggiustamento, ma
anche l'opzione a cui l'impresa rinuncia al momento dell'investimento.La
determinazione dell'investimento ottimale implica quindi la determinazione
del valore di tale opzione.L'analisi di tali problemi utilizza due
metodologie che conducono allo stesso risultato:la programmazione dinamica e
la teoria che serva a determinare il prezzo delle opzioni utilizzando il
principio dell'arbitraggio.

\bigskip

UN ESEMPIO.

\bigskip

Per chiarire la nozione di opzione in un contesto di investimento reale
possiamo ricorrere ad un esempio numerico nel quale l'incertezza \`{e}
modellata in tempo discreto come un processo binomiale.

Supponiamo di analizzare un mercato nel quale viene prodotto e venduto un
certo bene X. Un'impresa deve decidere se costruire o meno una fabbrica che
produrr\`{a} una unit\`{a} di questo bene.Il prezzo dell'anno corrente di
questo bene \`{e} pari 1000 euro,mentre il prezzo dell'anno prossimo \`{e}
incerto.Se si verifica lo stato A il prezzo aumenter\`{a} a 1500 euro con
probabilit\`{a} p,mentre nello stato B il prezzo scender\`{a} a 500 euro con
probabilit\`{a} 1-p.Il prezzo rester\`{a} poi a questi livelli per tutti gli
anni successivi.Il costo dell'investimento \`{e} pari a 8000 euro e la
fabbrica manterr\`{a} per sempre la sua capacit\`{a}
produttiva.L'investimento ha un carattere irreversibile perch\`{e} le sue
caratteristiche tecnologiche sono tali da escludere che si possa utilizzare
nella produzione di un altro bene.Supponiamo che il tasso di interesse sia
costante e pari al 10\%.Il flusso attualizzato dei profitti sar\`{a} pari a
20000 euro e il flusso attualizzato al netto del costo sar\`{a} di 10000 $-$
8000=2000 euro.I costi saranno inferiori ai benefici e quindi l'investimento
verr\`{a} effettuato.

Tale conclusione non tiene pero' in considerazione una scelta
alternativa.Aspettare l'anno prossimo per vedere l'andamento del prezzo del
bene X e investire solo se il prezzo sale..In questo caso la valutazione
dell'investimento dovrebbe essere rivista.Supponiamo infatti che la
probabilit\`{a} p sia pari a 0,5 e il costo dell'investimento resti
inalterato.Se il prezzo dovesse salire il prossimo anno a 1500 il valore
netto attualizzato corrente del progetto sarebbe 0.5(15000
-7272)=3864.Rinviare di un anno la decisione di investimento assicura un
guadagno superiore.Se l'impresa dovesse pagare un prezzo per evitare
l'obbligo di investire nel periodo corrente,questo prezzo sarebbe pari alla
diffrenza tra il payoff garantito dall'opzione del rinvio e il payoff legato
all'investimento immediato:Avremmo quindi che l'opzione che fornisce una
maggiore flessibilit\`{a} dinamica all'impresa sarebbe pari a 3864-2000=1864
euro.

L'opportunit\`{a} di investimento \`{e} quindi simile ad un'opzione call di
tipo Americano che offre la possibilit\`{a} ma non l'obbligo di acquistare
un'azione ad un prezzo prefissato senza definre il momento in cui tale
opzione deve essere esercitata.Nel nostro caso il prezzo di esercizio di
tale opzione reale \`{e} pari a 8000 e l'impresa deve decidere il momento
ottimale per approffittare di tale opportunit\`{a} di investimento.

Il carattere irreversibile dell'investimento \`{e} strettamente legato a
questo tipo di scelta.Se si potesse rivendere sul mercato il bene capitale
acquistato, l'impresa investirebbe subito, senza attendere ulteriori
informazioni sull'evoluzione del prezzo e della domanda per i suoi
prodotti.Potrebbe infatti compensare una eventuale evoluzione negativa del
mercato con il guadagno derivante dalla vendita del bene capitale,mentre
avrebbe un payoff immediato nel periodo corrente legato all'investimento a
cui dovrebbe rinunciare se dovesse rinviare la decisione.Ma se il costo
dell'investimento non \`{e} recuperabile esiste un costo opportunit\`{a}
nell'investire ora anzich\`{e} in futuro e il valore di tale opzione \`{e}
piuttosto elevato specie in un periodo di grande incertezza.

Possiamo a questo punto calcolare il valore di tale opzione utilizzando una
metodologia simile a quella utilizzata per la determinazione del valore di
attivit\`{a} finanziarie contingenti.

Costruiamo a questo scopo un portafoglio W costituito da una certa quantit%
\`{a} N del bene X prodotto dall'impresa e dall'opzione all'investimento che
indichiamo con $O_{0}$.Avremo quindi che $W_{0}=O_{0}-NP_{0}$ dove $P_{0}$
rappresenta il prezzo del bene X nel periodo corrente.Supponiamo che esista
un mercato sul quale l'impresa possa prendere a prestito direttamente la
quantit\`{a} N del bene X che entra in questo portafoglio. Il valore
dell'opzione dipender\`{a} dall'andamento del prezzo del bene.Se il prezzo
del bene sale da 1000 euro del periodo corrente a 1500 euro il valore
dell'opzione $O_{1}$ sar\`{a} pari a $\dsum\limits_{t=0}^{\infty }\frac{1500%
}{\left( 1,1\right) ^{t}}-8000=8.500$ euro, mentre se il prezzo dovesse
scendere a 500 l'opzione sarebbe pari a $\dsum\limits_{t=0}^{\infty }\dfrac{%
500}{\left( 1,1\right) ^{t}}-8000=-3.000$ e non sarebbe evidentemente
esercitata.

Il valore del portafoglio sarebbe quindi diverso a seconda dell'andamento
dei prezzi :in caso di un aumento del prezzo avremo che

$W_{1}=8500-1500N$ mentre nel caso di una diminuzione il portafoglio $W_{1}$
sar\`{a} pari a $-500N.$

Possiamo determinare la quntit\`{a} N che rende indipendente il portafoglio
dalla fluttuazione del prezzo semplicemente uguagliando il valore dei due
portafogli nei due stati del mondo,ottenendo

$8500-1500N=-500N.$

da cui N =8,5.

Un portafoglio la cui composizione \`{e} data dall'opzione e da 8,5 unit\`{a}
del bene X avr\`{a} un valore stabile,indipendente dai prezzi e pari a $%
-4250 $ $euro.$Un portafoglio cosi' costruito sar\`{a} quindi privo di
rischio.Possiamo calcolare il guadagno derivante da questo portafoglio
calcolando la differenza tra il valore portafoglio detenuto al tempo 1 e il
valore del portafoglio al tempo zero.Dovremo inoltre tener presente che chi
ha preso a prestito 8,5 unit\`{a} del bene X dovr\`{a} pagare a chi ha
ceduto tali beni un tasso di interesse equivalente al tasso di interesse di
mercato(Non esistono infatti guadagni in conto capitale dal momento che il
prezzo resta stabile a 2000 euro).Nel nostro esempio chi cede i beni in
prestito ricever\`{a} complessivamente 10\% x 1000 x 8,5=850 euro. Avremo
quindi che il guadagno complessivo di chi detiene il portafoglio sar\`{a}
uguale a

$W_{1}-W_{0}-850=-4250-(O_{0}-8,5x1000)=3400-O_{0}$

Applichiamo ora il principio di arbitraggio.Il rendimento del portafoglio
senza rischio che abbiamo costruito dovr\`{a} essere uguale al rendimento
assicurato dal portafoglio inizialeAvremo quindi che

\bigskip $3400-O_{0}=10\%\left( O_{0}-8500\right) $

da cui $O_{0}=3864,$ lo stesso valore che abbiamo ricavato quando abbiamo
calcolato il payoff corrente dell'investimento nel caso di rinvio della
decisione di investire al periodo successivo.

Quando decidiamo l'investimento riununciamo implicitamente ad esercitare
l'opzione.Il costo complessivo dell'investimento sar\`{a} quindi pari alla
somma del costo diretto e del costo opportunit\`{a} pari al valore
dell'opzione.Quindi il costo complessivo dell'investimento effettuato nel
epriodo corrente sar\`{a} pari a 8000+3864=11.864.Se il prezzo corrente del
bene X \`{e} uguale a 1000, avremo che il flusso attualizzato dei profitti 
\`{e} uguale a 11.000, un valore inferiore al costo complessivo
dell'investimento.Conviene quindi rinviare l'investimento al periodo
successivo.Considerare il valore dell'opzione cambia radicalmente il modo in
cui valutiamo il momento in cui investire.Cerchiamo ora di analizzare il
problema dell'investimento in condizioni di incertezza e di irreversibilit%
\`{a} introducendo un modello stocastico piu' complicato rispetto al
semplice modello binomiale del precedente esempio numerico.

\bigskip

IL\ MODELLO.

\bigskip

Si consideri un'impresa che produce un unico bene utilizzando lo stock di
capitale $K$ .Supponiamo per semplicit\`{a} che non ci siano altri inputs e
siano quindi uguali a zero i costi variabili. Il flusso di produzione
corrente \`{e} definito da una funzione di produzione $Y=f(K).$

Il capitale cosi' accumulato non si deprezza, e inoltre non puo' essere
venduto sul mercato secondario ad un prezzo positivo.Le scelte di
investimento fatte nel passato sono irreversibili.

La funzione di domanda inversa \`{e} definita da $\ P=XD(Y)$ dove lo shock
da domanda $X\left( t\right) $ ha un'evoluzione definita da un moto
geometrico browniano:

$\bigskip $

$dX=\mu \left( X\right) dt+\sigma (X)dW$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 1\right) $

e il flusso dei profitti sar\`{a} allora pari a

$\pi =XD\left( f(K)\right) f(K)=XH(K)$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 2\right) $

\bigskip

L'impresa ha dunque a disposizione uno stock di capitale pari a K e il suo
problema \`{e} quello di scegliere se e quando aumentare la sua capacit\`{a}
produttiva e quindi il flusso dei suoi investimenti, cosi' da massimizzare
il valore attuale dei suoi profitti al netto dei costi che deve affrontare
al momento dell'acquisto e dell'installazione delle nuove macchine.

Abbiamo anche ipotizzato che lo stock di capitale non si deprezzi; quindi lo
stock in essere continua a produrre e l'impresa continua a vendere il suo
prodotto.Non ci sono costi di aggiustamento o di installazione del nuovo
capitale e l'impresa deve scegliere un sentiero di crescita della sua capacit%
\`{a} produttiva.Se la funzione di produzione \`{e} caratterizzata da
rendimenti decrescenti di scala possiamo considerare il processo di
investimento come un incremento marginale e sequenziale di capacit\`{a}
produttiva che l'impresa effettua per massimizzare i profitti L'unit\`{a}
aggiuntiva di capitale puo' essere valutata come un singolo progetto di
investimento che l'impresa effettua tenendo conto dell'incertezza legata
all'andamento stocastico di X e quindi alla variabilit\`{a} dei suoi
profitti. Se il prezzo del suo prodotto \`{e} basso l'impresa incrementer%
\`{a} marginalmente il suo stock di capitale realizzando il progetto piu'
efficiente e investir\`{a} marginalmente in progetti via via meno efficienti
se il prezzo salir\`{a}.

Esister\`{a} quindi un livello di prezzo in corrispondenza del quale il
profitto marginale sar\`{a} superiore al costo dell'investimento e converr%
\`{a} investire.A livelli piu' bassi converr\`{a} attendere.Possiamo quindi
vedere la politica dell'impresa come scelta una tra investimento e
inazione.L'impresa effettua l'investimento ogni volta che il profitto
marginale legato all'incremento di capitale \`{e} superiore al costo, mentre
mantiene il suo stock di capitale inalterato ogniqualvolta il profitto
marginale \`{e} inferiore al costo.Come vedremo il termine costo non include
soltanto il costo diretto legato all'acquisto del bene capitale ma anche il
costo dell'opzione a cui l'impresa rinuncia quando effettua l'investimento.

Ci sono due metodologie per affrontare il problema della scelta della
politica ottimale dell'impresa.:la programmazione dinamica e l'analisi in
termini attivit\`{a} finanziarie che replicano l'andamento stocastico
dell'investimento.Seguiamo qui il secondo approccio.

L'uso di questo metodo richiede l'ipotesi che le fluttuazioni stocastiche di
X siano perfettamente correlate con attivit\`{a} finanziarie gi\`{a}
esistenti sul mercato finanziario.L'incertezza non \`{e} direttamente
commerciabile ma i mercati sono completi . Sono cio\`{e} presenti attivit%
\`{a} finanziarie che combinate tra loro possono replicare in modo
sistematico l'evoluzione stocastica di X.In un certo senso le decisoni
dell'impresa sono ridondanti perch\`{e} non modificano le opportunit\`{a} di
investimento gi\`{a} presenti sul mercato finanziario.

\ Consideriamo un'impresa che incrementa marginalmente il suo stock di
capitale.Questo capitale non si deprezza e assicura per sempre dalla (2) un
rendimento pari a $\ XH^{^{\prime }}(K)$ . In modo simile al precedente
esempio numerico formiamo un portafoglio che contiene questo progetto di
investimento e una quantit\`{a} N di attivit\`{a} finanziarie che replicano
l'andamento stocastico di X.Tali attivit\`{a} finanziarie(ad esempio le
azioni rappresentative dell'impresa) vengono prese a prestito sul mercato
finanziario e il guadagno complessivo di tale portafoglio \`{e} pari a

$\left( YH^{\prime }(K)-NX\delta \right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 3\right) $

Nella $\left( 3\right) $ $\delta $ rappresenta i dividendi che chi prende a
prestito le azioni deve pagare al proprietario delle azioni. Il rendimento
complessivo \`{e} pari alla somma del dividendo e del guadagno in conto
capitale $.$

Dal momento che X \ \`{e} soggetto a variazioni stocastiche il portafoglio
che abbiamo formato avr\`{a} anche un corrispondente guadagno o perdita in
conto capitale che calcoliamo applicando il lemma di Ito.Se indichiamo con $%
V\left( K,Y\right) $ il valore dell'unit\`{a} di capitale
installata,otteniamo:

$dV\left( K,Y\right) -NdX=\left\{ \mu X\left[ V^{\prime }\left( X\right) -N%
\right] +\frac{1}{2}\sigma ^{2}X^{2}V^{\prime \prime }(X)\right\} dt+X\left[
V^{^{\prime }}\left( X\right) -N\right] dz$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 4\right) $

Se scegliamo nel nostro portafoglio $N=V^{\prime }\left( X\right) $ scompare
il termine in $dz$ e il rischio di portafoglio.

Il rendimento complessivo sar\`{a} dato dalla somma della $\left( 3\right) $
e della $\left( 4\right) .$L'assenza di arbitraggio implica l'uguaglianza
tra il rendimento di tale portafoglio e quello di un portafoglio privo di
rischio.Avremo quindi

\bigskip $\left( YH^{\prime }(K)-NX\delta \right) +\frac{1}{2}\sigma
^{2}X^{2}V^{\prime \prime }(X)=r\left[ V\left( X\right) -NX\right] $ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ $\left( 5\right) $

\bigskip dove r rappresenta il tasso di interesse reale.

Riordinando i termini otteniamo un'equazione differenziale ordinaria di
second'ordine che ci permette di determinare il valore di V. Avremo infatti

\bigskip $\frac{1}{2}\sigma ^{2}X^{2}V^{\prime \prime }(X)+\left( r-\delta
\right) XV^{\prime }\left( X\right) -rV\left( X\right) +YH^{\prime }(K)=0$ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ $\left( 6\right) $

La soluzione generale della $\left( 6\right) $ \`{e} data dalla somma della
soluzione generale della corrispondente equazione omogenea \ e dalla
soluzione particolare.

\bigskip 

Ipotizziamo una soluzione della forma $AX^{\beta },$che sar\`{a} una
soluzione della $\left( 6\right) $ solo se soddisfa l'equazione
caratteristica

$\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}\beta ^{2}+\left( r-\delta -\dfrac{1}{2}\sigma
^{2}\right) \beta -r=0$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ $\left( 7\right) $

Le due radici della $\left( 7\right) $ sono date da

\bigskip

$\beta _{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{r-\delta }{\sigma ^{2}}+\sqrt{\left[ \dfrac{%
r-\delta }{\sigma ^{2}}-\dfrac{1}{2}\right] ^{2}-\dfrac{2r}{\sigma ^{2}}}>1$

\bigskip

\bigskip $\beta _{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{r-\delta }{\sigma ^{2}}-\sqrt{\left[
\dfrac{r-\delta }{\sigma ^{2}}-\dfrac{1}{2}\right] ^{2}-\dfrac{2r}{\sigma
^{2}}}<0$

\bigskip

e la soluzione generale della parte omogenea dell'equazione sar\`{a} quindi
uguale a $\ A_{1}\left( K\right) X^{\beta _{1}}+A_{1}\left( K\right)
X^{\beta _{2}}$ a cui dobbiamo aggiungere una soluzione particolare.Nel
nostro caso, vista la forma della funzione di impulso, la soluzione
particolare sar\`{a} uguale a $\ \dfrac{YH^{\prime }\left( K\right) }{\delta 
}$ e quindi scriviamo la soluzione della $\left( 6\right) $ come

\bigskip

$V(X)=A_{1}\left( K\right) X^{\beta _{1}}+A_{1}\left( K\right) X^{\beta
_{2}}+\dfrac{YH^{\prime }\left( K\right) }{\delta }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ $\left( 8\right) $

\bigskip

L'ultimo termine della $\left( 8\right) $ rappresenta il flusso attualizzato
dei profitti futuri associati all'investimento marginale mentre gli altri
due termini rappresentano scostamenti dal valore fondamentale che possiamo
trascurare o perch\`{e} privi di significato economico o perch\`{e} legati a
motivi speculativi.Sappiamo ad esempio che $\beta _{2}<0.$Quando X tende a
zero, il valore dell'investimento marginale tende a zero.Se dovessimo
ammettere come componente della soluzione il secondo termine della $\left(
8\right) $ avremmo una situazione assurda e cio\`{e} che il valore
dell'investimento tende all'infinito quando lo shock tende a zero e quindi
il profitto dell'impresa tende a zero.D'altro lato il secondo termine \`{e}
strettamente legato alla possibilit\`{a} che il valore dell'investimento
oltrepassi il valore dettato dai fondamentali a causa di una bolla
speculativa.Il valore del progetto puo' quindi allontanarsi dal suo valore
fondamentale per le aspettative di guadagno in conto capitale assicurate
dalla sua acquisizione quando X$\rightarrow \infty $.Per assicurare la
convergenza di tale processo escludiamo anche questo termine dalla soluzione
cosicch\`{e} avremo che il valore dell'investimento marginale sar\`{a}
uguale a

\bigskip $V(X)=\dfrac{YH^{\prime }\left( K\right) }{\delta }$ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 9\right) $

\bigskip Possiamo ora determinare il valore dell'opzione.

IL\ VALORE DELL'OPZIONE.

\bigskip

Per determinare il valore dell'opzione adottiamo lo stesso metodo che \`{e}
servito per definire il valore dell'investimento marginale.Costruiamo un
portafoglio privo di rischio costituito dall'opzione e da una quantit\`{a} $%
N=O^{\prime }(X)$ di attivit\`{a} finanziarie correlate con l'evoluzione
stocastica di X, il prezzo del prodotto dell'impresa.Otteniamo un'equazione
differenziale di second'ordine in O definita da

\bigskip

\bigskip $\frac{1}{2}\sigma ^{2}X^{2}O^{\prime \prime }(X)+\left( r-\delta
\right) XO^{\prime }\left( X\right) -rO\left( x\right) =0$ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 10\right) $

L'unica differenza della $\left( 10\right) $rispetto alla $\left( 8\right) $ 
\`{e} rappresentata dall'assenza del termine relativo al profitto
conseguibile una volta effettuato l'investimento marginale.La(10) \`{e} un
equazione differenziale omogenea la cui soluzione \`{e} semplicemente la
soluzione generale che sar\`{a} data da

$O(X)=B_{1}\left( K\right) X^{\beta _{1}}+B_{2}\left( K\right) X^{\beta
_{2}} $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 11\right) $

Il valore dell'opzione \`{e} positivo nell'intervallo compreso tra zero e il
livello di prezzo a cui risulta conveniente esercitarla, cio\`{e} affrontare
il costo dell'investimento e rinunciare all'opzione stessa.Si tratta quindi
di determinare le costanti $B_{1}$ e $B_{2}$ e il livello del prezzo $%
X^{\ast }$ a cui conviene appunto investire.Il livello di tale prezzo deve
essere determinato contestualmente alla determinazione delle altre due
costanti.E' una variabile endogena al problema, un limite libero e non
prefissato.Per questo motivo dobbiamo determinare tre incognite: le due
costanti nella $\left( 11\right) $ e il prezzo \ a cui corrisponde
l'investimento ottimale.Quando il prezzo si avvicina a zero il valore
dell'opzione dovrebbe tendere a zero.Se vogliamo eliminare l'anomalia che si
crea in corrispondenza del valore negativo della radice dell'equazione
caratteristica corripondente alla $\left( 11\right) $ dobbiamo porre $%
B_{2}=0.$Altrimenti il valore dell'opzione tenderebbe a salire in
corrispondenza di un prezzo del prodotto che si avvicina allo zero.La $%
\left( 11\right) $ diventa allora

\ \ $O(X)=B_{1}\left( K\right) X^{\beta _{1}}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 12\right) $

Restano a questo punto da determinare due incognite $B_{1}$ e $X^{\ast }.$%
Prendiamo in esame cosa succede quando l'evoluzione del prezzo del prodotto 
\`{e} tale da spingere l'impresa a incrementare la sua capacit\`{a}
produttiva.In corrispondenza di tale prezzo deve valere la condizione nota
come "value-matching" che stabilisce l'uguaglianza tra valore dell'opzione e
costo netto dell'investimento.

Dovremo quindi avere che la scelta ottimale viene fatta quando

\ \ $O(X^{\ast })=V(X^{\ast })-I$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ $\left( 13\right) $

ovvero quando

$O(X^{\ast })+I=V(X^{\ast })$

dove I rappresenta il costo dell'investimento.

Il guadagno derivante dall'investimento \`{e} uguale al costo complessivo
dell'investimento dato dalla somma del costo diretto a cui va aggunto il
valore dell'opzione. \ In caso contrario la scelta non sarebbe ottimale e
l'impresa non dovrebbe effettuare l'investimento.

La (13) non \`{e} sufficiente:abbiamo bisogno di un'altra condizione limite
per calcolare le due incognite.

L'altra condizione che il valore dell'opzione e dell'investimento devono
rispettare \`{e} la cosiddetta "high-contact condition" che stabilisce,in
corrispondenza del prezzo ottimale, l'uguaglianza tra le derivate delle due
funzioni O e V.

Avremo quindi che

\ \ 

$O^{\prime }(X^{\ast })=V^{\prime }(X^{\ast })$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 14\right) $

\bigskip

Utilizzando la $\left( 9\right) $ e la $\left( 12\right) $ nella $\left(
13\right) $ e nella $\left( 14\right) $ otteniamo

\bigskip

$B_{1}\left( K\right) =\left( \dfrac{\beta _{1}-1}{I}\right) ^{\beta
_{1}-1}\left( \dfrac{H^{\prime }(K)}{\beta \delta }\right) ^{\beta _{1}}$ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
15\right) $

\bigskip

$X(K)=\dfrac{\beta _{1}}{\beta _{1}-1}\dfrac{\delta I}{H^{\prime }(K)}$ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 16\right) $

\bigskip

Questo risultato dimostra come la regola dell'accumulazione ottimale di
capitale differisca dalla condizione di equilibrio secondo la quale lo stock
di capitale deve essere mantenuto al livello tale per cui il costo d'uso del
capitale deve uguagliare il ricavo marginale. Nel modello precedente si \`{e}
visto come, nel caso di irreversibilit\`{a} completa dell'investimento, la
politica ottimale consiste nel non investire nell'intervallo compreso tra 0
e e il valore di X definito dalla (16).Quando il prezzo tocca questo margine
l'impresa investe.All'interno del precedente intervallo mantiene il capitale
accumulato in precedenza.

In caso di completa irreversibilit\`{a} il valore del capitale marginale sar%
\`{a} dato dalla differenza tra la $\left( 9\right) $ e la $\left( 12\right) 
$ che rappresentano rispettivamente il valore dell'investimento marginale a
cui dobbiamo sottrarre il valore dell'opzione a cui l'impresa rinuncia
quando effettua l'investimento.

\bigskip

\bigskip

L'INVESTIMENTO CON MERCATI INCOMPLETI E PARZIALE REVERSIBILITA'.

\bigskip

Il risultato precedente \`{e} stato ottenuto ipotizzando l'esistenza di
mercati completi che consentivano la costruzione di un portafoglio privo di
rischi.Nel caso di mercati incompleti non potremmo ricorrere a questa
metodologia.Esiste comunque uno strumento alternativo che ci consente di
giungere a risultati simili:la programmazione dinamica.Possiamo inoltre
generalizzare il modello precedente indebolendo l'ipotesi di completa
irreversibilit\`{a} e cercando di analizzare la scelta di investimento
ottimale nel caso di parziale reversibilit\`{a} dell'investimento. L'impresa
puo' acquistare beni capitali ad un costo fisso ma anche rivenderli nel caso
abbia capacit\`{a} in eccesso anche se questa scelta ha un costo.Il prezzo a
cui i beni capitali potranno essere rivenduti sar\`{a} inferiore al prezzo a
cui l'impresa li ha acquistati.Introduciamo infine una forma particolare di
funzione di produzione stocastica .

\bigskip Consideriamo un'impresa che utilizza lavoro e capitale per ottenere
il prodotto $Q_{t}$ con una funzione di produzione definita da

$Q_{t}=L_{t}^{\alpha }K_{t}^{1-\alpha }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
$con$ $0<\alpha <1$

\bigskip

dove $L$ rappresenta il lavoro e K lo stock di capitale.L'impresa si trova
di fronte ad una curva di domanda definita da

\bigskip

$P_{t}=X_{t}^{1-\beta }Q^{\beta -1}$

\bigskip

dove $P_{t}$ rappresenta il prezzo del prodotto e $X_{t}$ \ \`{e} uno shock
stocastico che segue un modo geometrico browniano la cui evoluzione \`{e}
definita dalla $\left( 1\right) .$

In ogni momento l'impresa massimizza i profitti operativi definiti da $%
P_{t}Q_{t}-wL_{t}$ dove il salario \`{e} assunto costante.

Il valore massimizzato dei profitti \`{e} definito da

$\pi \left( K,X\right) =\dfrac{h}{1-\gamma }X^{\gamma }K^{1-\gamma }$ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $(17)$

dove $h>0$ e $0<\gamma <1.$Questa funzione del profitto \`{e} compatibile
sia con una impresa in concorrenza perfetta la cui tecnologia di produzione 
\`{e} soggetta a rendimenti decrescenti di scala sia con un 'impresa
monopolistica che dispone di una tecnologia con rendimenti costanti di scala
e si trova di fronte a una curva di domanda ad elasticit\`{a} costante
soggetta a shock di tipo moltiplicativo.L'impresa puo ' in ogni periodo
comprare i beni capitali al prezzo $I_{u}$ e rivenderli al prezzo $I_{l}.$%
dove $I_{l}=\alpha I_{u}$ e $0\leq \alpha \leq 1.$Questa ipotesi riflette la
parziale( e costosa) reversibilit\`{a} dell'investimento.Se $\alpha $ fosse
uguale a zero l'investimento sarebbe completamente irreversibile come nel
modello precedente.Se $\alpha $ fosse uguale a 1 la reversibilit\`{a}
dell'investimento sarebbe completa e ci troveremmo di fronte al modello
neoclassico privo di frizioni.

L'impresa massimizza il flusso attualizzato dei profitti scontato ad un
tasso di interesse positivo $r>0$ dove $r>\mu $ e definito da

$V\left( K_{t},X_{t}\right) =\sup E_{{}}\dint\limits_{t}^{\infty
}e^{-rs}\left( \dfrac{hX_{t+s}^{\gamma }K_{t+s}^{1-\gamma }}{1-\gamma }%
ds-I_{u}dK_{s}^{+}+I_{l}dK_{s}^{-}\right) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ $\left( 18\right) $

\ dove $K_{s}^{+}$ rappresenta l'investimento cumulativo di capitale fino al
tempo t e $K_{s}^{-}$ rappresenta il disinvestimento cumulativo di capitale
fino al tempo t, cosicch\`{e} in ogni periodo t lo stock di capitale
dell'impresa \`{e} pari a $\ K_{t}=K+K_{t}^{+}-K_{t}^{-}.$

L'impresa \`{e} neutrale rispetto al rischio e l'equazione di Bellmann
associata alla $\left( 18\right) $ \`{e} definita da

$rV\left( K,X\right) =\dfrac{h}{1-\gamma }X^{\gamma }K^{1-\gamma }$ $+\mu
XV_{X}\left( K,X\right) +\frac{1}{2}\sigma ^{2}X^{2}V_{XX}(K,X)$ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 19\right) $

Il lato sinistro della $\left( 19\right) $ rappresenta il tasso di
rendimento richiesto, mentre il lato destro \`{e} il tasso di rendimento
atteso dato dalla somma del flusso corrente di profitti e del guadagno
atteso in conto capitale.

Differenziando la $\left( 19\right) $ rispetto a K otteniamo

\bigskip

$rV_{K}\left( K,X\right) =h\left( \dfrac{X}{K}\right) ^{\gamma }$ $+\mu
XV_{XK}\left( K,X\right) +\frac{1}{2}\sigma ^{2}X^{2}V_{XXK}(K,X)$ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ $\left( 20\right) $\ \ \ \ \ 

\bigskip

Per ottenere un'espressione semplificata della $\left( 20\right) $ definiamo
il rapporto tra shock stocastico e stock di capitale come $y=\dfrac{X}{K}$ .
La funzione valore \ \ \ $V\left( K,X\right) $ \`{e} omogenea di primo grado
in K e X e quindi il valore marginale del capitale che definiamo con q \`{e}
omogeneo di grado zero in K e X, per cui avremo che

\bigskip

$q(K,X)=\dfrac{\partial V(K,X)}{\partial K}=q(y)$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $%
\left( 21\right) $

\bigskip

Possiamo calcolare a questo punto le derivate parziali della $\left(
21\right) $ e sostituirle nella $\left( 20\right) $ ottenendo un'espressione
semplificata definita da

\bigskip

$rq(y)=hy^{\gamma }$\ $+\mu y$\ $q^{\prime }(y)+\frac{1}{2}\sigma
^{2}y^{2}q^{\prime \prime }(y)$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 22\right) $

\bigskip

$q(y)$ rappresenta il valore marginale del capitale e l'investimento
ottimale \`{e} pari a zero quando $I_{u}<q(y)<$ $I_{l}.$

Se $q(y)$ raggiunge $I_{u}$ l'impresa investe, se raggiunge $I_{l}$
l'impresa disinveste.Questo implica che il valore di y in corrispondenza di
questi limiti \`{e} implicitamente definito da

\bigskip

$q\left( y_{u}\right) =I_{u}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 23\right) $

$q\left( y_{l}\right) =I_{l}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left( 24\right) $\ 

\bigskip

La $\left( 23\right) $ e la $\left( 24\right) $ sono condizioni di ottimalit%
\`{a} e richiedono che il valore marginale di una unit\`{a} di capitale(al
netto o al lordo del valore dell'opzione) sia uguale al suo costo marginale
quando l'impresa intraprende rispettivamente l'investimento e il
disinvestimento.Le due condizioni generalizzano la precedente condizione
(13).

Al tempo stesso sempre in corrispondenza dei valori soglia deve valere la
high contact condition secondo cui anche le derivate devono essere uguali
tra loro:

\bigskip

$q^{\prime }\left( y_{u}\right) =0$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
25\right) $

$q^{\prime }\left( y_{l}\right) =0$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
26\right) $

\bigskip

Si ricordi che il costo dell'investimento \`{e} costante e quindi la $\left(
25\right) $ e la $\left( 26\right) $ assicurano che la valutazione marginale
del capitale sia analoga \ quando l'investimento \`{e} diverso da zero.

L'equazione caratteristica associata alla $\left( 22\right) $ \`{e} data da

$f(\beta )=\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}\beta ^{2}-\left( \mu -\dfrac{1}{2}\sigma
^{2}\right) \beta -r=0$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\left(
27\right) $\ \ \ 

\bigskip

La \ \ \ $\left( 27\right) $ ha due radici distinte $\beta _{1}$ e $\beta
_{2}$ $\ \ $con $\beta _{2}<0<\gamma <1<\beta _{1}$ e la soluzione
all'equazione differenziale $\left( 22\right) $ \`{e} data da

\bigskip

$q(y)=Ay^{\gamma }+B_{1}y^{\beta _{1}}$ \ $+B_{2}y^{\beta _{2}}$\ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ $\left( 28\right) $

\bigskip

dove $A=\dfrac{h}{\rho \left( \gamma \right) }$ e $\ \rho \left( \gamma
\right) =r\dfrac{\left( \gamma -\beta _{1}\right) \left( \gamma -\beta
_{2}\right) }{\beta _{1}\beta _{2}}$

$B_{1}$ e $B_{2}$ sono costanti da determinare utilizzando le condizioni di
ottimalit\`{a} in corrispondenza dei valori di soglia .La $\left( 28\right) $
\`{e} quindi composta da tre elementi.

$Ay^{\gamma }$ rappresenta il valore atteso attualizzato del profitto
marginale dell'impresa nel caso in cui l'impresa non potesse comprare o
vendere il capitale.$B_{1}y^{\beta _{1}}$ rappresenta il valore dell'opzione
call cio\`{e} della possibilit\`{a} dell'impresa di comprare capitale
aggiuntivo.il coefficiente $B_{1}$ sar\`{a} negativo e quindi l'opzione call
ridurr\`{a} il valore dell'investimento marginale, perch\`{e} al momento
dell'investimento l'impresa rinuncer\`{a} a tale opzione.Il terzo termine $%
B_{2}y^{\beta _{2}}$ rappresenta l'opzione put cio\`{e} il diritto implicito
per l'impresa di vendere il capitale in eccesso quando il prezzo del
prodotto scende fino ad incontrare la soglia inferiore.La costante $B_{2}$ 
\`{e} positiva perch\`{e} al momento dell'investimento l'impresa acquisisce
l'opzione di vendere una unit\`{a} aggiuntiva di capitale.

Si noti come il valore dell'opzione call e dell'opzione put , il secondo e
il terzo termine della (28) sono stati semplificati eliminando
rispettivamente i termini che contengono la radice negativa e la radice
positiva per mantenere finito il valore dell'opzione:questo riduce da
quattro a due il numero delle costanti di integrazione da determinare;date
le quattro condizioni di ottimalit\`{a} $\left( 23\right) -\left( 26\right) $
\`{e} possibile calcolare anche i due valori soglia in corrispondenza dei
quali l'impresa investe o disinveste.

\bigskip

\bigskip

\end{document}
